質問

問１
　ｒはｒ＞１を満たす実数とする。複素数ｚがｌｚｌ＝ｒを満たすとき、
ｚ＋１／ｚの絶対値の最大値及び最小値を求めよ。
またそのときのｚの値も求めよ。

問２
　ｉは虚数単位とする。自然数ｎに対して
(cosシータ＋ｉｓｉｎシータ)＾ｎ＝cosｎシータ＋sinｎシータが成り立つ
ことを、数学的帰納法を用いて証明せよ。

お便り２００２／９／１１
from=Tetsuya Kobayashi

(1)
0 ≦ θ ＜ 2 とし、z = r(cos θ + i sin θ)とおくと、

だから、

で、

したがって、

は、ｚ＝ｒまたはｚ＝－ｒのとき最大値をとり、

　　　　　　ｚ＝ｉｒまたはｚ＝－ｉｒのとき最小値をとる。………（答）

(2)
与式はn = 1 のとき明らかに成立する。

k ≧ 1 とし、n = k のとき成立すると仮定する。

すなわち
（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^k＝ｃｏｓｋθ＋ｉｓｉｎｋθ
を仮定する。

このとき、

　　　　　　　　　　　　　　加法定理

よって、ｎ＝ｋ＋１のときも成立する。

以上より、題意は示された。