質問＜９３＞９８／１２／２
from=水島愛
「図形と方程式」

問１
　直線ａｘ＋ｂｙ＝１に関して、点Ｐ（４，１）と対称点Qの
座標が（２，－３）であるという。定数ａ，ｂの値を求めよ。

問２
　原点と（１，２）を通り、直線ｙ＝ｘ＋５上に中心をもつ
円の方程式を求めよ。

問３
　次の平行な２直線の距離が３であるとき、定数ａの値を求
めよ。
　　　　　　　３ｘ－４ｙ＝ａ，３ｘ－４ｙ＝－５

問４
　ｘ＾２＋ｙ＾２≦４，ｙ≧０のとき、３ｘ－４ｙの最大値、
最小値を求めよ。

問５
　点（ｘ、ｙ）が２つの不等式ｙ≧ｘ＾２－４、ｙ≦ｘ＋２
を満たす領域にあるとき、３ｘ－ｙの最大値、最小値を求めよ。

問６
　この前質問した
　　　ｘ2＋ｍｘ＋ｎがｘ2－４ｘ＋４
　　　でわりきれるとき、ｍ＝（　　　　）である。
の事ですが、私が書いた式にミスがあるんです。
　　それは、ｘ2＋ｍｘ＋ｎでなく、ｘ＾３＋ｍｘ＋ｎです。
本当にすみませんでした。

お返事９８／１２／３
from=武田

問１

点ＰとＱが直線Ｌに関して線対称だから、中点Ａは、直線Ｌ
上にのっている。
ｘ＝（４＋２）／２＝３
ｙ＝（１－３）／２＝－１
点Ａ（３，－１）を、直線ａｘ＋ｂｙ＝１に代入する。
３ａ－ｂ＝１……①
直線ＰＱと直線Ｌは直交しているから、直交条件より
ａｘ＋ｂｙ＝１は、ｙ＝－ａ／ｂ・ｘ＋１／ｂ
直線Ｌの傾きｍ＝－ａ／ｂ
ｍ×ｍ’＝－１より、
直線ＰＱの傾きｍ’＝－１／ｍ＝ｂ／ａ
また、座標から傾きを計算すると、ｍ’＝(-3-1)/(2-4)＝２
したがって、ｂ／ａ＝２
ｂ＝２ａ……②
①と②より、ａ＝１、ｂ＝２……（答）

問２

円の中心Ａ（ａ，ｂ）と原点までの距離と、点（１，２）ま
での距離は半径で等しいから、
√{(a-1)2＋(b-2)2}＝√(a2＋b2)
２乗して、
ａ2－２ａ＋１＋ｂ2－４ｂ＋４＝ａ2＋ｂ2
２ａ＋４ｂ＝５……①
中心Ａ（ａ，ｂ）は直線ｙ＝ｘ＋５上にあるので、代入して、
ｂ＝ａ＋５……②
①と②より、ａ＝－５／２、ｂ＝５／２
半径ｒ＝√{(-5/2)2＋(5/2)2}＝５√２／２
∴（ｘ＋５／２）2＋（ｙ－５／２）2＝２５／２

問３

直線３ｘ－４ｙ＝－５上の点Ｐの座標はｘ＝１のとき、ｙ＝２
Ｐ（１，２）
直線３ｘ－４ｙ＝ａの外の点Ｐ（１，２）からの距離が３より、
平面図形の距離を求める公式より、
３＝｜３×１－４×２－ａ｜／√(３2＋４2)
１５＝｜－５－ａ｜
－５－ａ＝１５のとき、ａ＝－２０
－５－ａ＝－１５のとき、ａ＝１０
∴ａ＝－２０，１０……（答）

問４

２つの不等式の領域の共通部分は、色のついた部分になる。
この領域の中で、３ｘ－４ｙ＝ｋの書けるのは、
Ａ（２，０）を通る直線とＢを通る直線となる。
点Ｂは円ｘ2＋ｙ2＝４と直線３ｘ－４ｙ＝ｋ
の接点だから、連立して解くと、
ｘ2＋（3/4・ｘ－k/4）2＝４
２５ｘ2－６ｋｘ＋（ｋ2－６４）＝０
接するから、判別式Ｄ＝０より、
３６ｋ2－１００（ｋ2－６４）＝０
ｋ2＝１００
ｋ＝±１０
２次方程式を解くと、
２５ｘ2±６０ｘ＋３６＝０
ｘ＝±６／５
図より、ｘ＝－６／５
ｙ＝８／５
点Ｂ（-6/5，8/5）
したがって
Ａ（２，０）を通るとき、ｋ＝３×２－４×０＝６
Ｂ（-6/5，8/5）を通るとき、ｋ＝３×(-6/5)－４×(8/5）
　　　　　　　　　　　　　　 ＝－１０
∴Ａ（２，０）を通るとき、最大値ｋ＝６
Ｂ（-6/5，8/5）を通るとき、最小値ｋ＝－１０

問５

２つの不等式の領域の共通部分は、色のついた部分になる。
この領域の中で、３ｘ－ｙ＝ｋの書けるのは、
Ａを通る直線とＢ（－２，０）を通る直線となる。
点Ａは放物線ｙ＝ｘ2－４と直線３ｘ－ｙ＝ｋ
の接点だから、連立して解くと、
ｘ2－３ｘ＋（ｋ－４）＝０接するから、判別式Ｄ＝０より、
９－４（ｋ－４）＝０
ｋ＝２５／４
２次方程式を解くと、
ｘ2－３ｘ＋９／４＝０
ｘ＝３／２
ｙ＝－７／４
点Ａ（3/2，-7/4）
したがって
Ａ（3/2，-7/4）を通るとき、ｋ＝３×3/2－(-7/4)＝２５／４
Ｂ（－２，０）を通るとき、ｋ＝３×(－２)－０＝－６
∴Ａ（3/2，-7/4）を通るとき、最大値ｋ＝２５／４
Ｂ（－２，０）を通るとき、最小値ｋ＝－６

問６

割り切れるのだから、余りが０となるので、
ｘの係数も定数項も０となる。
答は、ｍ＝－１２だけでいいのでしょうか？
ｎ＝１６について、ふれなくて良いのか心配です。