質問

面積１の三角形ABCにおいて、辺AB上に一点Pをとり、Pを通り辺BCに
平行な直線と辺ACの交点をQとする。更に線分PQの中点に関してAと
対称な点をRとする。点Pが辺AB上を動くとき、三角形ABCと三角形PQR
の共通部分の面積Sの最大値を求めよ。

お便り２００２／６／２４
from=CharlieBrown

まず、線分PQの中点をOとすると、
点Oは線分PQと線分ARを二等分するので、四角形APRQは平行四辺形です。
点Rが△ABCの外になるか、中になるかで場合分けをします。

PQ//BC で、
AP
--＝t とおくと、0＜t＜1で、
AB
AP：AB＝t：1 ですから、
t＝1/2 のとき、点Rが線分BC上になります。

(i)0＜t≦1/2 のとき
点Rは△ABCの内部（または辺上）にあり、
△PQRは△ABCにすっかり含まれるので、
共通部分の面積Sは、△PQRの面積に他なりません。
ところが、△PQR≡△APQですから、
Sは、△APQの面積で求まります。
△APQ∽△ABCで、相似比はAP：AB＝t：1 ですから、
面積比はt^2：1となり、△ABC＝1 から、
S＝t^2
となります。

(i)1/2＜t＜1 のとき
点Rは△ABCの外部にあります。
線分PR、QRと辺BCとの交点をそれぞれD、Eとすると、
△ABCとの共通部分は台形PDEQになります。
四角形APRQが平行四辺形なので、
AP＝QR、したがってQR：AB＝t：1。
また、PB//QE、PQ//BEより、四角形PBEQは平行四辺形で、
PB＝QEより、QE：AB＝(1-t)：1。
よって、
RE：AB＝(QR-QE)：AB＝(2t-1)：1。
△RQP、△REDはどちらも△ABCと相似ですから、
(i)の時と同様に面積は相似比の2乗で求まり、
△RQP＝t^2、△RED＝(2t-1)^2 となります。
ゆえに、
S＝△RQP-△RED＝t^2-(2t-1)^2＝-3t^2+4t-1
です。
横軸t、縦軸Sでグラフを描くと、2つの放物線がt＝1/2でなめらかにつながり、
S＝-3t^2+4t-1の頂点(t＝2/3)で最大値1/3を取ることがわかります。

お便り２００２／６／２４
from=phaos



図にあるように APRQ  は平行四辺形になる。
AB:AP を 1:x としよう。
0 ≦ x ≦ 1/2 では
S = x^2 (相似比の自乗)
だから単調増加である。
1/2 ＜ x ≦ 1 の時,
図の AB:BU = 1: (2x -1) なので
S = △PRQ - △PST = x^2 - (2x-1)^2
= x^2 - (4x^2 - 4x + 1)
= -3x^2 + 4x - 1
= -3(x - 2/3)^2 + 1/3.
だから x - 2/3 の時最大で最大値は 1/3.