質問＜８４５＞２００２／５／２４
from=タキ
「置換積分」

はじめまして。検索エンジンで調べてこちらのＨＰにお邪魔しました。
早速なのですが、どうしても答えがわからず悩んでいる問題があります。

次の等式を証明せよ
π                  π
∫x・f(sinx)dx＝2/π∫f(sinx)dx
0                   0

置換積分を使って解く問題のようなのですが…。
よろしければご指導・ご教授お願いします。

お便り２００２／５／２７
from=ｆａｎ

x=π-tとおくと、dx=-dt、xが0→πのときtはπ→0で、
sin x =sin(π-t)=sin tなので、
∫[0→π] x f(sin x)dx
=-∫[π→0] (π-t) f(sin t)dt
=∫[0→π] (π-t) f(sin t)dt
=π∫[0→π] f(sin t)dt-∫[0→π] t f(sin t)dt
=π∫[0→π] f(sin x)dx-∫[0→π] x f(sin x)dx
よって、
2∫[0→π] x f(sin x)dx=π∫[0→π] f(sin x)dxより
∫[0→π] x f(sin x)dx=(π/2)∫[0→π] f(sin x)dx
となります。