質問＜８２５＞２００２／４／２３
from=まぐ
「逆関数」

次の問題をお願いします。
あと一歩のところまでいくのですが、
最終的にその答えになりません。
場合分けが上手く出来ていないのでしょうか。

問
関数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂの逆関数が、もとの関数ｆ（ｘ）と一致するための
必要十分条件を求めよ。

お返事２００２／５／４
from=武田

ｆ（ｘ）＝ｙとおいて、逆関数を求めると、
ｙ＝ａｘ＋ｂ
ａｘ＝ｙ－ｂ

　　ｙ－ｂ
ｘ＝―――
　　　ａ
ｘとｙを置き換えて、
　　ｘ－ｂ
ｙ＝―――
　　　ａ

もとの関数と一致するのは、
　　１　　　　　　ｂ
ａ＝―　，　ｂ＝－―　より、
　　ａ　　　　　　ａ
この２つの条件が同時に成り立つのは、

ａ2＝１
ａ2－１＝０
（ａ－１）（ａ＋１）＝０
∴ａ＝１，－１

ａｂ＝－ｂ
ａｂ＋ｂ＝０
ｂ（ａ＋１）＝０
∴ｂ＝０またはａ＝－１

したがって、必要十分条件は、
ａ＝１，－１かつｂ＝０
または、
ａ＝－１（ｂは任意）………（答）