質問＜８２２＞２００２／４／１５
from=hiroki
「いろいろな問題」

1,次の漸化式で与えられる数列｛an}の一般項を求める。
a1=p  an+1=an(an-2)  

2,nを1000以上の素数とするとき、100/nの少数第n位を求める。

3,次の数は無理数であることを示す。
√1+√2+√3+√4+√5+√6

4, m,nは自然数でm＞＝2のとき、次のxに関する整式は(n+1)個の整式に
因数分解できることを示す。
  Ｘ^m^n-1

5,円周上に任意にとった３点が鋭角三角形をなす確率。

問題が多くてすみません。宜しくお願いします。

お返事２００２／４／２６
from=武田

ｄ３さんとｆａｎさんから、この問題は、

http://enjoy.internet.ne.jp/math/

の添削問題として出てますとのお知らせがありましたので
解答を載せるのは適当ではないと考えました。

※しかし私にはさっぱり解けませんので、質問先を間違えたのでは
ないですか？もし、添削期間が過ぎて、hirokiさん自身が解けたとき、
解答をお寄せください。それまで楽しみに待っています。

※下記のように、ｆａｎさんが問い合わせていただいたので、
未解決問題としました。どなたかアドバイスをください。

お便り２００２／５／１４
from=ｆａｎ

質問＜８２２＞についてですが、例のページは長い間更新されていなかったので
そこの管理人に聞いてみたところ、
多忙のためもう実質受付は終了していて、問題について触れるのは
全くかまわないとの事です。
また、近々解答を公開すると言う事なので、そちらを見て下さるといいかと思
います。

お便り２００２／５／１５
from=ｆａｎ

1は分かりません。

2は一応解けたのですが少し長くなるので今回はパスします。

3は＜８３７＞にも出ている「数学質問箱」
ここをクリック→数学質問箱へ
の質問と解答(～2000/6) というところの（問９６）に載っています。

4に行きます。
A^m-1を考えてみると、A=1を代入するとこの値は0になるので、A^m-1は
A-1を因数に持つ事が分かります。
ここでX^m^n-1=X^{m^(n-1)*m}-1={X^m^(n-1)}^m-1より、A=X^m^(n-1)
とおくと、X^m^n-1はX^m^(n-1)-1を因数に持つ事になります。
よって商をQn(X)とおけばX^m^n-1={X^m^(n-1)-1}Qn(X)となります。
ここでX^m^(n-1)-1={X^m^(n-2)}^m-1よりこれはX^m^(n-2)-1を
因数に持つ事が分かります。
よってX^m^n-1={X^m^(n-2)-1}Qn-1(x)Qn(X)
となり、同様にしてどんどん進めていくと
X^m^n-1=(X-1)Q1(x)Q2(X)…Qn(X)
まで、全部でn+1個の整式に因数分解できます。

最後に5ですが、これは僕はこれかなという物はあるのですが、あまり自信が無く
上手く説明できないので、誰かほかの方の解答を待ちたいと思います。

お便り２００２／８／１１
from=juin

5の解答は、「数学の部屋」というhpの確率シリーズ
に問題、解答がでています。

お便り２００２／１０／１
from=しふる

正解である保証はありませんが、思いついたのでとりあえず。

点Aを円周上に固定する。
点Aから弧に沿って長さxだけ離れた点を点Bとする。
四角形ABCDが長方形となり、また点C、点Dが円周上となるように、
点C、点Dをとる。
このとき、弧CD上に点Eがあるときのみ、三角形ABEは鋭角三角形となる。
∴点A、B間の弧に沿った距離がxの場合に、
円周上に任意に点Eをとったとき、
三角形ABEが鋭角三角形をなす確率p(x)は、
円周上に占める長さの比から考えて、p(x)=x/2π。
点Bを円周上の任意の位置にとった場合
その確率Pは、
p(x)をすべてのxについて足し合わせ全体の数で割ればいいため、
p(x)連続関数とすると、
円の半周までの積分を円周で割った値となる。

    π
P=2∫  p(x) dx / 2π = 1/2
    0

ここで、x>πでは点Eは反対側となるが、
x＜πの時と同様なのでその対称性から2倍した。
点A、B、Eの順序はないため、Pはそのままでよい。

∴円周上に任意にとった３点が鋭角三角形をなす確率は1/2。

お便り２００２／１０／１
from=juin

しふるさんの解答で正解だと思います。
単純な計算間違いだと思いますが
p=2∫(x/2π)dx/2π=1/4
だから
　　答え1/4

お便り２００２／１２／２
from=Tetsuya Kobayashi

＜問１＞
http://members.tripod.co.jp/~satoshi_hmny/822-1.gif
この問題は久々に「解けて嬉しかった」問題です。
しかし
双曲線関数の式(もしくはカテナリーの式)を知らなければ解けないでしょう。

＜問２＞
n は素数で、10 と互いに素ですから、
Fermat の小定理より、10^(n-1)-1 は n で割り切れます。
1=0.999999... と考えれば、n 桁の数 999...9 が n で割り切れることから、
1/n について、
小数第 n 位から小数第 2n-2 位は、小数第 1 位から小数第 n-1 位と
同じものになります。
したがって、100/n の小数第 n 位の数は 1/n の小数第 n+2 桁の数と等しく、
したがって
1/n の小数第 3 桁に等しいので、n≧1000 であることより、
求める数字は 0 となります。

※これで＜８２２＞の未解決問題は全て解決しました。