質問＜８１４＞２００２／４／３
from=Syun
「フィボナッチ数列」

C(1):(x+1)^2+(y-1)^2=1
C(2):(x-1)^2+(y-1)^2=1とし、
以下円C(n)をC(n-2)とC(n-1)とｘ軸に接するように描いていくとする。
円C(n)の半径をr(n)とすると、数列{1/√r(n)}はフィボナッチ数列に
なることを証明せよ。
という問題が分かりません。よろしくお願いします。

お返事２００２／４／１０
from=武田

未解決問題に移しました。
ｆａｎさんからアドバイスをいただきました。感謝！！

お便り２００２／４／１９
from=ｆａｎ

初めまして。fanというものです。
早速なんですが未解決問題＜８１４＞
（円の半径の-1/2乗がフィボナッチ数列になるというもの）
が解けましたので解答をお送りしたいと思います。

まず、全ての円はx軸に接するので、円C(n)の半径がr(n)なら、
中心は(x(n),r(n))とおけます。
すると、C(n-2)とC(n)が接するので、中心間の距離は
半径の和になるので、
r(n-2)+r(n)=sqrt((x(n-2)-X(n))^2+(r(n-2)-r(n))^2)
となり、
(r(n-2)+r(n))^2=(x(n-2)-X(n))^2+(r(n-2)-r(n))^2
であり、
C(n-1)とC(n)、C(n-2)とC(n-1)も接するので、同様に、
(r(n-1)+r(n))^2=(x(n-1)-X(n))^2+(r(n-1)-r(n))^2
(r(n-2)+r(n-1))^2=(x(n-2)-X(n-1))^2+(r(n-2)-r(n-1))^2
となります。

よってこれらより、
|x(n-2)-x(n)|=2sqrt(r(n-2)r(n)),
|x(n-1)-x(n)|=2sqrt(r(n-1)r(n)),
|x(n-2)-x(n-1)|=2sqrt(r(n-2)r(n-1))
となります。

ここで、x(n-2)＞x(n-1)のとき、図を描くと
x(n-2)＞x(n)＞x(n-1)となることが分かるので、
x(n-2)-x(n)=2sqrt(r(n-2)r(n))　・・・(1),
x(n)-x(n-1)=2sqrt(r(n-1)r(n))　・・・(2),
x(n-2)-x(n-1)=2sqrt(r(n-2)r(n-1))　・・・(3)
となり、
(1)+(2)-(3)より、
0=2sqrt(r(n-2)r(n))+2sqrt(r(n-1)r(n))-2sqrt(r(n-2)r(n-1))
で、
sqrt(r(n-2)r(n-1))=sqrt(r(n-2)r(n))+sqrt(r(n-1)r(n))
であり、
両辺をsqrt(r(n-2)r(n-1)r(n))で割ると、
1/sqrt(r(n))=1/sqrt(r(n-1))+1/sqrt(r(n-2))
となり、
1/sqrt(r(1))=1/sqrt(r(2))=1よりこれがフィボナッチ数列
になることが示せました。
x(n-2)＜x(n-1)のときも同様にして示せます。

ちょっと見づらいですが以上です。
また解けたものができたりしたらお送りします。
それでは。