質問＜７５１＞２００１／１２／３０
from=りさ
「積分」

放物線ｙ＝－２ｘ②＋ｘ＋１上の１点における接線と放物線ｙ＝ｘ②で
囲まれる図形の面積の最小値を求めよ。

この問題をお願いします。

お便り２００２／１／５
from=ｄ３

質問＜７５１＞の解答です．
まず，接点を(t，－2t^2＋t＋1)とします．接線ｌは，
ｌ：y＝(－4t＋1)(x－t)－2t^2＋t＋1から，
ｌ：y＝(－4t＋1)x＋2t^2＋1
放物線y＝x^2との共有点のx座標は，次の方程式の２解です．
x^2＝(－4t＋1)x＋2t^2＋1
すなわち，
x^2－(－4t＋1)x－2t^2－1＝0  ・・・(＃)
ここで，判別式Dは明らかにＤ＜0なので，実数解を
α，β（α＜β）とすると，
囲まれる部分では，接線の方が上方にあるので，面積S(t)は，
S(t)＝∫(α→β)｛(－4t＋1)x＋2t^2＋1－x^2｝dx
S(t)＝－∫(α→β)(x－α)(x－β)dx
S(t)＝(1/6)(β－α)^3
(β－α)^3＝｛(β－α)^2｝^(3/2)．
したがって，(β－α)^2が最小のとき，面積も最小になります．
ここで，(＃)について，解と係数の関係：
｛　α＋β＝－4t＋1
｛　αβ＝－2t^2－1から，
(β－α)^2＝(α＋β)^2－4αβ
(β－α)^2＝(－4t＋1)^2－4(－2t^2－1)
　　　　 ＝24t^2－8t＋5
　　　　 ＝24(t－1/6)＋13/3
よって，min　S(1/6)＝(1/6)(13/3)^(3/2)＝13√39/54