質問

領域の内外で、点Pが単純多角形の内部であるか外部であるかを判定するとき、
「点Pを原点として多角形の頂点を順に眺めたときの偏角の和が２πであれば
内部、０であれば外部である」という定理は存在するのですか？
意味はわかるのですが、証明が出来ません。
回答お願いします。

お返事２００１／１１／２６
from=武田

どういう公式から出てくるのかは分かりませんが、
ｎ角形の内部の点Ｐから眺めると、偏角の和が２πとなるのは、
以下のようにして示すことが出来ると思います。

点Ｐからｎ角形の頂点へ線を引くと、三角形がｎ個できる。
これらの全ての三角形の内角の和は、１８０°ｎとなる。


また、点Ｐとは関係なく、ｎ個の頂点を結んで、三角形に分割すると、
（ｎ－２）個の三角形ができるから、これらの三角形の内角の和は
１８０°（ｎ－２）となる。


上から下を引くと、点Ｐにおける偏角の和が求まるから、
１８０°ｎ－１８０°（ｎ－２）＝１８０°（ｎ－ｎ＋２）
＝１８０°×２＝３６０°＝２π　………（答）

※しかし、残念ながら、外部の点Ｑからの偏角の和が０となるのは
わからない。誰かアドバイスを？
村嶋さんからアドバイスが届きました。

お便り２００１／１１／２８
from=かおり

分かりやすい証明ありがとうございました。
なるほど納得！でした。
でも、多角形の外部に点が存在するときの証明に関しては、学校の先輩方
にも聞いてみたのですがやっぱり「？？？」
といった感じでした。
どうしたものでしょうかねぇ…。

お便り２００１／１１／２７
from=村嶋健吾


図のように多角形ABCDEFがあったとします。
多角形の辺上を点Pが一方通行で動いていて、
点Oの位置にはあなたがいて、あなたは点Pの動きを目で
追っていると想像してください。
点Pは、多角形の内部を左に見ながら辺上を一周します。
（「内部を左に見ながら」は数学をやる上での決まりです。）

点Oが内部にあるとき（左側の図）は、偏角の和は、
∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOE+∠EOF+∠FOA=2π
になります。
角は左回りをプラスと考えるのが決まりです。ですから、
2πであって、－2πにはなりません。

一方、点Oが外部にあるとき（右側の図）は、偏角の和は、
やはり
∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOE+∠EOF+∠FOA
なんですが、右回りの角はマイナスと考えるのが決まりで
あることに注意して下さい。
ついつい角はすべてプラスだと思ってしまうというのなら、
∠AOB+∠BOC+∠COD+（-∠DOE）+（-∠EOF）+∠FOA
とした方がいいかもしれませんね。
いずれにしても、この和は0（ゼロ）になります。
（ちゃんと証明しようとするなら、この多角形が
∠FODの中にスッポリ入ることに注意して、証明を書くと
いいでしょう。）

くだくだ証明を書かなくても上のことは明らかです。
だって、左図では点Pを見ているあなたは首を一回転しなく
てはいけませんが、右図では首を左に向けて右に向けて元の
位置に戻ってくるじゃありませんか。

この定理を一般化したものを「偏角の原理」と呼び、複素関数論
に出てきます。