質問＜７０２＞２００１／１１／２２
from=はな
「積分」

1／(ｘ^2＋1)を０から１までで積分する問題が
わかりません。
おねがいします。

お返事２００１／１１／２２
from=武田

　1　　１
∫　―――――ｄｘ＝※
　0　ｘ2＋１

置換積分で解くことが出来る。
　　　　　　　　　　　　　１
ｘ＝tanθとおく。ｄｘ＝――――ｄθ
　　　　　　　　　　　　cos2θ

ｘ2＋１＝tan2θ＋１

　　　　　　１
　　　　＝――――
　　　　　cos2θ

ｘ｜０―→１
―――――――
θ｜０―→π/4

置き換えて、
　　　π/4　　　　　　１
※＝∫　　cos2θ・――――ｄθ
　　　０　　　　　　cos2θ

　　　π/4　　　　　　π/4　　π　　　π
　＝∫　　ｄθ＝［θ］　　　＝―－０＝―　………（答）
　　　０　　　　　　　０　　　４　　　４

お便り２００１／１１／２２
from=はな

１／(ｘ^2＋１)を０から１までで積分する問題について
教えていただきありがとうございました。
もうひとつ質問したいのですが，
学校で友達が「１／(x-i)(x+i)に変形して分数の差にして積分したら，
logが出てきてわからなくなった。」と言ってたのですが，
そのような解き方もありますか？
お願いします。

お返事２００１／１１／２２
from=武田

　1　　１
∫　―――――ｄｘ＝※
　0　ｘ2＋１

ｘ2＋１＝（ｘ＋ｉ）（ｘ－ｉ）より、

　　　1　　　１　　　　　　１　　１　　１　　　　１
※＝∫　――――――ｄｘ＝――　∫　（――　－　――　）ｄｘ
　　　0　(x+i)(x-i)　　　　２ｉ　０　　x-i　　　x+i

　　１　　　　　　　　　　　　　　　　　　１
　＝――　［log｜ｘ－ｉ｜－log｜ｘ＋ｉ｜］
　　２ｉ　　　　　　　　　　　　　　　　　０

　　１
　＝――　（log｜１－ｉ｜－log｜－ｉ｜－log｜１＋ｉ｜＋log｜ｉ｜）
　　２ｉ

　　１　　　　　　　ｉ（１－ｉ）
　＝――　log｜―――――――――｜
　　２ｉ　　　　（－ｉ）（１＋ｉ）

　　１　　　　　１＋ｉ
　＝――　log｜――――｜
　　２ｉ　　　　１－ｉ

　　１
　＝――　log｜ｉ｜　………（答）
　　２ｉ


これがπ／４となれば、いいのだが………(×_×;）
どなたかアドバイスください！

お返事２００１／１１／２４
from=武田

ｉは別の何かで表せないか考えていると、
ｅiθ＝cosθ＋ｉsinθ
を思いついた。

　　π
θ＝―とおくと、
　　２

ｅi(π/2)＝cos(π/2)＋ｉsin(π/2)＝ｉ
log｜ｉ｜＝log｜ｅi(π/2)｜＝i(π/2)・logｅ＝i(π/2)

　　１　　　　　　　１　　　ｉπ　　π
※＝――log｜ｉ｜＝―――・―――＝――　………（答）
　　２ｉ　　　　　　２ｉ　　２　　　４

万歳！！π／４がでてきた。
※メールを見たら、CharlieBrownさんからも同様な解答が寄せられ
ていました。感謝！！

お便り２００１／１１／２３
from=CharlieBrown

  1     1
∫  ―――――dx
  0  x^2 + 1

    1      1
＝∫  ――――――dx
　　0　(x+i)(x-i)

   1    1   1      1
＝――∫  (―― - ――）dx
   2i   0　x-i    x+i
   1                            1
＝―― [log(x - i) - log(x + i)]
   2i                           0

   1       x - i  1
＝――[log(―――)]
   2i      x + i  0

   1      (1-i)       -i
＝――(log――― - log――)
   2i     (1+i)        i

   1      (1-i)i
＝――log―――――
   2i    (1+i)(-i)

   1
＝――log(i)
   2i

ここで、複素数の極形式を用いると、
z ＝ re^(iθ)　(ただし、0≦θ＜2πとする)
の対数は、
logz ＝ logr + iθ
であり、複素数iの絶対値と偏角はそれぞれ1とπ/2だから、
log(i) ＝ log1 + iπ/2
       ＝ iπ/2

   1          π
∴――log(i)＝―
   2i         4