質問＜６９１＞２００１／１１／１４
from=だこりん
「有心卵形：楕円の面積」

［問題］
ａ，ｂ，ｃを実数として（ａ＞０）
Ｄ＝ｂ＾２－４ａｃ＜０ならば、
ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ＾２＋ｂｘｙ＋ｃｙ＾２とおくとき、
ｆ（ｘ，ｙ）≦２√｜Ｄ｜/π
は（ｘ，ｙ）≠（０，０）以外の整数解を持つ事を示せ。

という問題において、ｆ（ｘ，ｙ）＝ｋは平面上の
楕円を表し、Ｓは原点を中心とする有心卵形で、
面積Ａ（Ｓ）＝２ｋｄ/√｜Ｄ｜
である事が分かりません。これが分かれば、
ｋ＝２√｜Ｄ｜/πのとき、Ａ（Ｓ）＝４なので
Ｍｉｎｋｏｗｓｋｙの定理から問題解決となるの
ですが・・。期限が迫ってるので出来るだけ
早く教えてください。よろしくお願いします。

お便り２００２／９／２
from=juin

f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2は２次形式なので、
直交行列を使って変数変換すると
ax^2+bxy+cy^2=pX^2+qY^2と書ける。
ここで、p,qは固有値である。
a+c=p+q,ac-(b/2)^2=pqを満たす実数である。
直交行列による変換は、座標軸の回転だから２点の距離を保つ。

a>0,b^2-4ac＜0だから、c>0.よってp,qは正の実数である。
pX^2+qY^2=kとすると、
これは、k>0のとき楕円を表し、
面積は
π(√k/p)(√k/q)=πk/√(pq)
　　　　　　　　=πk/√(-D/4)
　　　　　　　　=2πk/√(-D)
よって、
元の２次形式ax^2+bxy+cy^2=kも楕円を表し、
面積は2πk/√(-D)である。