質問＜６６４＞２００１／１０／９
from=こうた
「楕円体の体積と表面積」

楕円をｙ軸について回転させたときの体積と表面積の求め方を教えて
ください。
x^2/a^2+y^2/b^2=1という一般解で求めていただきたいのですが。
さらにｘ軸に対して-π/2からπ/2までで積分して求めると思うのですが、
範囲はθからπ/2までで計算していただきたいです。
ただし-π/2＜θ＜0です。
一応体積は求めることができたのですが、
V=a^2*b*π*(2/3-1/12*sin3θ-3/4*sinθ）で合ってますか？
説明が分かり辛くてすいません。お願いします。

お返事２００１／１１／８
from=武田

　π
－―＜θ＜０
　２
楕円より、
｛ｘ＝ａcosφ
｛ｙ＝ｂsinφ
　　　　π
θ≦φ≦―の範囲で弧ＰＱＲを描く。
　　　　２

弧ＰＱＲをｙ軸の周りに回転させてできる体積は
ｂ
∫　πｘ2 ｄｙ
bsinθ

　　π/2
＝π∫　ａ2 cos2 φ・ｂcosφｄφ
　　θ

　　　　　π/2
＝πａ2 ｂ∫　cos3 φｄφ
　　　　　θ

　　　　　１
＝πａ2 ｂ∫　（１－ｔ2 ）ｄｔ
　　　　　sinθ

　　　　　　２　　　　　１
＝πａ2 ｂ（―－sinθ＋――sin3 θ）＝（※１）
　　　　　　３　　　　　３

３倍角の公式を利用して、
　　　　　　　　　　２　３　　　　　１
（※１）＝πａ2 ｂ（―－―sinθ－―――sin３θ）………（答）
　　　　　　　　　　３　４　　　　１２

弧ＰＱＲが描く表面積は、底の部分は除くと、
ｂ　　　　　　　ｄｘ　　　ｄｙ
∫　２πｘ√｛（――）2 ＋（――）2 ｝ｄφ＝（※２）
bsinθ　　　　　ｄφ　　　ｄφ
ｄｘ
――＝－ａsinφ
ｄφ

ｄｙ
――＝ｂcosφ
ｄφ

　　　ｄｘ　　　ｄｙ
√｛（――）2 ＋（――）2 ｝
　　　ｄφ　　　ｄφ

＝√（ａ2 sin2 φ＋ｂ2 cos2 φ）

　　　　ａ2 
＝ｂ√（――sin2 φ＋cos2 φ）
　　　　ｂ2 

　　　　ａ2 
＝ｂ√｛――sin2 φ＋（１－sin2 φ）｝
　　　　ｂ2 

　　　　　　ａ2 －ｂ2 
＝ｂ√（１＋―――――sin2 φ）＝（※３）
　　　　　　　　ｂ2 

ａ2 －ｂ2 
―――――＝ｅ2 とおくと、
　　ｂ2 

（※３）＝ｂ√（１＋ｅ2 sin2 φ）

　　　　　　　π/2
（※２）＝２π∫　ａcosφ・ｂ√（１＋ｅ2 sin2 φ）ｄφ
　　　　　　　θ

　　　　　　　　　π/2
　　　　＝２πａｂ∫　√（１＋ｅ2 sin2 φ）・cosφｄφ
　　　　　　　　　θ

　　　　　　　　　１
　　　　＝２πａｂ∫　√｛１＋（ｅｔ）2 ｝ｄｔ
　　　　　　　　　sinθ

　　　　　２πａｂ　ｅ
　　　　＝――――・∫　√（１＋ｚ2 ）ｄｚ
　　　　　　ｅ　　　ｅsinθ

　　　　　２πａｂ　１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｅ
　　　　＝――――・―［ｚ√（ｚ2 ＋１）＋１・log｜ｚ＋√（ｚ2 ＋１）｜］
　　　　　　ｅ　　　２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｅsinθ

　　　　　πａｂ
　　　　＝―――｛ｅ√（ｅ2 ＋１）＋log｜ｅ＋√（ｅ2 ＋１）｜
　　　　　　ｅ

　　　　　－ｅsinθ√（ｅ2 sin2 θ＋１）－log｜ｅsinθ＋√（ｅ2 sin2 θ＋１）｜｝………（答）