質問＜６４５＞２００１／９／２４
from=カセン
「余弦の和」

Ｓn＝cosθ＋cos２θ＋cos３θ＋‥‥
　　　　‥‥＋cos(n－２)θ＋cos(n－１)θ＋cosnθ

の値を求めよ。

お返事２００１／９／２６
from=武田

　　ｅiθ＝cosθ＋ｉsinθ
＋）ｅ-iθ＝cosθ－ｉsinθ
――――――――――――――――
　ｅiθ＋ｅ-iθ＝２cosθ
同様にして、
　ｅi2θ＋ｅ-i2θ＝２cos２θ
　ｅi3θ＋ｅ-i3θ＝２cos３θ
　　　　………　　　　………
　ｅinθ＋ｅ-inθ＝２cosｎθ
すべてを加えて、
　（ｅiθ＋………＋ｅinθ）＋（ｅ-iθ＋………＋ｅ-inθ）＝２（cosθ＋………cosｎθ）
左辺を計算して、
　　　ｅiθ（ｅinθ－１）　　ｅ-iθ（ｅ-inθ－１）
左辺＝――――――――　＋　――――――――
　　　　　ｅiθ－１　　　　　　ｅ-iθ－１　

　　　ｅiθ（ｅinθ－１）　　（ｅ-inθ－１）
　　＝――――――――　＋　――――――
　　　　　ｅiθ－１　　　　　　１－ｅiθ

　　　ｅi(n+1)θ－ｅiθ－ｅ-inθ＋１
　　＝―――――――――――――
　　　　　ｅiθ－１

　　　ｅi(n+1)θ－ｅ-inθ－（ｅiθ－１）
　　＝――――――――――――――
　　　　　ｅiθ－１

　　　ｅi(n+1)θ－ｅ-inθ
　　＝――――――――－１
　　　　　ｅiθ－１

左側の分子＝ｅi(n+1)θ－ｅ-inθ
　　　　　＝｛cos(n+1)θ＋ｉsin(n+1)θ｝－｛cosｎθ－ｉsinｎθ｝
　　　　　＝｛cos(n+1)θ－cosｎθ｝＋ｉ｛sin(n+1)θ＋sinｎθ｝

　　　　　　　　　　2n+1　　　　　θ　　　　　　　2n+1　　　　　θ
　　　　　＝－２sin―――θ・sin―――＋ｉ・２sin―――θ・cos―――
　　　　　　　　　　２　　　　　　２　　　　　　　　２　　　　　２

　　　　　　　　　2n+1　　　　　　θ　　　　　　θ
　　　　　＝２sin―――θ（－sin――　＋　ｉcos――　）
　　　　　　　　　　２　　　　　　２　　　　　　２


左側の分母＝ｅiθ－１
　　　　　＝（cosθ＋ｉsinθ）－１
　　　　　＝（cosθ－１）＋ｉsinθ

　　　　　　　　　　　　　θ　　　　　　　　　　θ　　　θ
　　　　　＝（１－２sin2 ――－１）＋ｉ・２sin――・cos――
　　　　　　　　　　　　　２　　　　　　　　　　２　　　２

　　　　　　　　　θ　　　　　θ　　　　θ
　　　　　＝２sin――（－sin――＋ｉcos――　）
　　　　　　　　　２　　　　　２　　　　２

したがって、
　　　　　　　　　　　　　　2n+1
　　　　　　　　　　　２sin―――θ
　　　左側の分子　　　　　　　２
左辺＝―――――－１＝―――――――－１
　　　左側の分母　　　　　　　θ
　　　　　　　　　　　　２sin――
　　　　　　　　　　　　　　　２

　　　　　2n+1　　　　　θ
　　　sin―――θ－sin―――
　　　　　　２　　　　　２
　　＝―――――――――――
　　　　　　　　　θ
　　　　　　　sin――
　　　　　　　　　２

　　　　　　n+1　　　　ｎ
　　　２cos――θ・sin――θ
　　　　　　２　　　　　２
　　＝―――――――――――
　　　　　　　　　θ
　　　　　　　sin――
　　　　　　　　　２

したがって、右辺の２を移項して、

Ｓｎ＝cosθ＋cos２θ＋………＋cosｎθ

　　　　　　n+1　　　　ｎ
　　　　cos――θ・sin――θ
　　　　　　２　　　　　２
　　＝―――――――――――　………（答）
　　　　　　　　　θ
　　　　　　　sin――
　　　　　　　　　２