質問＜６３１＞２００１／９／１３
from=バナナ
「放物線など」

＜1＞X+1/X=3の時　X－1/X＝□
　　　X^4－1/X^4＝□

＜2＞Cを実数とする。
Xの整式A＝X^4－(C－2)X^3－(3C－1)X^2＋(2C^2＋5C＋8)X＋C^2＋2C＋2を
Xの整式B＝X^2－CX＋1で割った時の余りをｐX＋ｑとすれば、
ｐ＝C^2＋□C＋□、ｑ＝C^2＋□C＋□である。とくに
C=□の時、AはBで割り切れる

＜3＞放物線ｙ＝ｘ^2－ｘ＋3を平行移動したもので、原点を通り、
頂点が直線ｙ＝2ｘ－3上にある

＜4＞次の点または直線に関して、
放物線ｙ＝－2ｘ^2＋3ｘ－1と対称な放物線の方程式を求めよ
(1)原点
(2)点(0、－1)
(3)直線ｙ＝－1

＜5＞放物線ｙ＝ｘ^2－ａｘ－2ａ＋3とｘ軸が2点で交わりその交点の
ｘ座標が0と1および1と2の間にあるとき、定数ａの値の範囲を求めよ

お返事２００１／９／１９
from=武田

問１
　　１
ｘ＋―＝３より、
　　ｘ
２乗して、
　　　　　１
ｘ2 ＋２＋――＝９
　　　　　ｘ2 

　　　１
ｘ2 ＋――＝７
　　　ｘ2 

　　１
ｘ－―＝ｋとおいて、２乗すると、
　　ｘ

　　　　　１
ｘ2 －２＋――＝ｋ2 
　　　　　ｘ2 

　　　１
ｘ2 ＋――＝ｋ2 ＋２
　　　ｘ2 

したがって、
ｋ2 ＋２＝７
ｋ2 ＝５
ｋ＝±√５………（答）

　　　１　　　　　　１　　　　　　１
ｘ4 －――＝（ｘ2 ＋――）（ｘ2 －――）
　　　ｘ4 　　　　　ｘ2 　　　　　ｘ2 

　　　　　　　　　　１　　　　　１　　　　１
　　　　　＝（ｘ2 ＋――）（ｘ＋―）（ｘ－―）
　　　　　　　　　　ｘ2 　　　　ｘ　　　　ｘ

　　　　　＝７・３・（±√５）
　　　　　＝±２１√５………（答）

問２
Ａ＝ｘ4 －（ｃ－２）ｘ3 －（３ｃ－１）ｘ2 ＋（２ｃ2 ＋５ｃ＋８）ｘ＋ｃ2 ＋２ｃ＋２
Ｂ＝ｘ2 －ｃｘ＋１
Ａ÷Ｂ＝Ｑ…ｐｘ＋ｑ
実際に縦書きの割り算をしてみると、
商Ｑ＝ｘ2 ＋２ｘ－ｃ
余りｐｘ＋ｑ＝（ｃ2 ＋５ｃ＋６）ｘ＋ｃ2 ＋３ｃ＋２
となった。
したがって、
｛ｐ＝ｃ2 ＋５ｃ＋６
｛ｑ＝ｃ2 ＋３ｃ＋２………（答）

割り切れるためには、ｐ＝０かつｑ＝０だから、
｛ｃ2 ＋５ｃ＋６＝０
｛ｃ2 ＋３ｃ＋２＝０
したがって、
｛（ｃ＋２）（ｃ＋３）＝０
｛（ｃ＋１）（ｃ＋２）＝０
ｃ＝－２，－３かつｃ＝－１，－２だから
∴ｃ＝－２………（答）

問３
ｙ＝ｘ2 －ｘ＋３

　　　　　１　　　１１
　＝（ｘ－―）2 ＋――
　　　　　２　　　　４



左右にａ、上下にｂ平行移動すると、
　　　　　１　　　　　１１ｙ＝（ｘ－―＋ａ）2 ＋――＋ｂ
　　　　　２　　　　　　４

原点を通るから、ｘ＝０，ｙ＝０を代入して、
ｂ＝－３＋ａ－ａ2 ………①

頂点が、直線ｙ＝２ｘ－３上にあるから、
　　１　　　　　１１
ｘ＝―－ａ，ｙ＝――＋ｂを代入して、
　　２　　　　　　４

　　　　　　１９
ｂ＝－２ａ－――………②
　　　　　　　４
①と②より、
　　　　　　　　　　　　１９
－３＋ａ－ａ2 ＝－２ａ－――
　　　　　　　　　　　　　４

４ａ2 －１２ａ－７＝０
（２ａ－７）（２ａ＋１）＝０
　　７　　１
ａ＝―，－―
　　２　　２
②に代入して、
　　７　　　　　　　４７
ａ＝―のとき、ｂ＝－――
　　２　　　　　　　　４
したがって、
　　　　　１　７　　　１１　４７
ｙ＝（ｘ－―＋―）2 ＋――－――
　　　　　２　２　　　　４　　４

　＝（ｘ＋３）2 －９
　＝ｘ2 ＋６ｘ＋９－９
　＝ｘ2 ＋６ｘ………（答）

　　　１　　　　　　　１５
ａ＝－―のとき、ｂ＝－――
　　　２　　　　　　　　４
したがって、
　　　　　１　１　　　１１　１５
ｙ＝（ｘ－―－―）2 ＋――－――
　　　　　２　２　　　　４　　４

　＝（ｘ－１）2 －１
　＝ｘ2 －２ｘ＋１－１
　＝ｘ2 －２ｘ………（答）

問４
ｙ＝ｆ（ｘ）＝－２ｘ2 ＋３ｘ－１とおくと、



原点に関して対称なのは、－ｙ＝ｆ（－ｘ）となるから
－ｙ＝－２（－ｘ）2 ＋３（－ｘ）－１
－ｙ＝－２ｘ2 －３ｘ－１
∴ｙ＝２ｘ2 ＋３ｘ＋１………（答）



点（０，－１）に関して対称なのは、－２－ｙ＝ｆ（－ｘ）

　ｙ＋ｂ
∵―――＝－１より、ｙ＋ｂ＝－２、ｂ＝－２－ｙ
　　２

－２－ｙ＝－２（－ｘ）2 ＋３（－ｘ）－１
－ｙ＝－２ｘ2 －３ｘ－１＋２
ｙ＝２ｘ2 ＋３ｘ－１………（答）



直線ｙ＝－１に関して対称なのは、－２－ｙ＝ｆ（ｘ）

－２－ｙ＝－２ｘ2 ＋３ｘ－１
－ｙ＝－２ｘ2 ＋３ｘ－１＋２
ｙ＝２ｘ2 －３ｘ－１………（答）

問５
ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｘ2 －ａｘ－２ａ＋３とおくと、
ｆ（０）＝－２ａ＋３＞０より、
　　　　　　　　　３
　　　　　　　ａ＜―
　　　　　　　　　２

ｆ（１）＝１－ａ－２ａ＋３＜０
　　　　　－３ａ＋４＜０
　　　　　　　　　４
　　　　　　　ａ＞―
　　　　　　　　　３

ｆ（２）＝４－２ａ－２ａ＋３＞０
　　　　　－４ａ＋７＞０
　　　　　　　　　７
　　　　　　　ａ＜―
　　　　　　　　　４



したがって、
４　　　３
―＜ａ＜―　………（答）
３　　　２