質問＜６２８＞２００１／９／７
from=ぷりん
「実力テストです」

こんにちは。ぷりんです。夏休みの遊びすぎで実力テストが４０点前後に
なりました(;_;)大変大変！ではでは質問させてください。

①ｘｙ平面上に原点０と点Ｐ（ａ，ｂ），点Ｑ（ｘ，ｙ）の３点をとる。またベクトル
　ｐはベクトルＯＰでベクトルｑはベクトルＯＱとする。
（１）｜ベクトルｐ｜＝１となる点Ｐを第一象限に１つ固定するとき，
　　　ベクトルｐとベクトルｑの内積が１以下になる点Ｑの存在する範囲を
　　図示せよ。
（２）｜ベクトルｐ｜＝１となる全ての点Ｐに対して
　　　ベクトルｐとベクトルｑの内積が１以下になる点Ｑの存在する範囲を
　　図示せよ。

②数列｛Ａ（ｎ）｝についてＡ（1）＝１，Ａ（ｎ+1）＝ルート【２＋Ａ（ｎ）】『ｎは
　自然数』が成り立つとする。
（１）すべてのｎについて０＜Ａ（ｎ）＜２が成り立つことを，ｎに関する
　　数学的帰納法で示せ。
（２）Ａ（ｎ）＝２ｃｏｓθ（ｎ）『ｎは自然数』とおくとき，θ（1）を求め，
　　θ（ｎ+1）をθ（ｎ）を用いて表せ。ただし０°＜θ（ｎ）＜９０°『ｎは自然数』
　　とする。
（３）一般項Ａ（ｎ）を求めよ。

　　　よろしくおねがいします。

お返事２００１／９／１０
from=武田

問１
（１）
→　　　　　　　→
ｐ＝（ａ，ｂ）、ｑ＝（ｘ，ｙ）とすると、
内積が１以下より、
　→　→
（ｐ，ｑ）＝ａｘ＋ｂｙ≦１………①

①より、
ａｘ＋ｂｙ＝１は、原点が中心、半径１の円の円周上の点Ｐ（ａ，ｂ）における
接線の方程式だから
点Ｑの存在範囲は、図のようになる。



（２）
　　　　→
点Ｐが｜ｐ｜＝１となるすべての点をとるとき、内積が１以下となるのは、
ｂ＞０において、接線より下部
ｂ＜０において、接線より上部
ｂ＝０のとき
　　ａ＞０において、接線より左側
　　ａ＜０において、接線より右側

以上のすべての共通部分が点Ｑの存在範囲だから
図のようになる。



問２
（１）
ａ1＝１
ａn+1＝√（２＋ａn）
（ｎは自然数）
「すべてのｎについて、０＜ａn＜２が成り立つ」ことを
数学的帰納法で証明すると、

　　（ｉ）ｎ＝１のとき、ａ1＝１より、０＜ａ1＜２
　　（ⅱ）ｎ＝ｋのとき、０＜ａk＜２が成り立つと仮定して、
　　　　　ｎ＝ｋ＋１のとき、
　　　　　　　　ａk＞０より、２＋ａk＞０
　　　　　　　　ａk+1＝√（２＋ａk）＞０
　　　　　　　　ａk+1を２乗して、
　　　　　　　　（ａk+1）2＝２＋ａk＜２＋２＝４
　　　　　　　　ａk+1＞０より、
　　　　　　　　ａk+1＜√４＝２
　　　　　　　　∴０＜ａk+1＜２
　　したがって、（i）（ⅱ）より、すべてのｎについて、与式が成り立つ。

（２）
ａn＝２cosθnとおくと、
ａ1＝２cosθ1＝１

０°＜θn＜９０°より、

　　　　１　　　　　　　π
cosθ1＝――より、θ1＝――　………（答）
　　　　２　　　　　　　３

ａn+1＝√（２＋ａn）より、
２cosθn+1＝√（２＋２cosθn）
２乗して
４cos2θn+1＝２＋２cosθn
２cos2θn+1－１＝（１＋cosθn）－１
cos２θn+1＝cosθn
２θn+1＝θn

　　　　１
∴θn+1＝―θn　………（答）
　　　　２

（３）
　　　　１
∴θn+1＝―θn
　　　　２

　　　　　　１
　　　　＝（―）n・θ1
　　　　　　２

　　　　　π　　１
　　　　＝―・（―）n
　　　　　３　　２

したがって、
ａn＝２cosθn

　　　　　　　π　　　１
　　＝２cos｛――・（――）n-1｝　………（答）
　　　　　　　３　　　２