質問＜６２６＞２００１／８／３０
from=takuya
「広義積分」

問１
　D={(x,y)|x^2+y^2≦x}とするとき、次の2重積分を極座標に変換して求めよ。

　∫∫D√x dxdy

　答えは8／15なのですが、領域をどのようにしたらい
　いのかよく分からず、解けませんでした。

たびたびすいません。広義積分がよく理解できません。

問２
　次の値を求めよ。

　①　∞
　　　∫e^(-x^2-4x)dx
　　－∞
　②　∞
　　　∫x^2･e^-x^2 dx
　　　０

答え　＿　　　　　　＿
　①√π･e^4　　②√π／4

お返事２００１／９／１
from=武田

問１
領域Ｄは
ｘ2 ＋ｙ2 ≦ｘより、
（ｘ2 －ｘ）＋ｙ2 ≦０
　　　１　　　　　　１
（ｘ－―）2 ＋ｙ2 ≦―
　　　２　　　　　　４

　　　１　　　　　１
中心（―，０）半径―の円内部がＤとなる。
　　　２　　　　　２

したがって、
∫∫D√ｘｄｘｄｙ

　　１　√（ｘ－ｘ2 ）
＝∫　∫　　√ｘ　ｄｘｄｙ
　　０　－√（ｘ－ｘ2 ）

　　１　　　　　　√（ｘ－ｘ2 ）
＝∫　√ｘｄｘ・∫　１ｄｙ
　　０　　　　　　－√（ｘ－ｘ2 ）

　　１
＝∫　√ｘｄｘ・｛√（ｘ－ｘ2 ）＋√（ｘ－ｘ2 ）｝
　　０

　　１
＝∫　２ｘ・√（１－ｘ）ｄｘ＝与式Ｐ
　　０

ｘ＝sin2 θとおくと、
ｄｘ＝２sinθ・cosθｄθ
√（１－ｘ）＝cosθ
ｘ｜０―→１
―――――――
θ｜０―→π/2

　　　π/2
Ｐ＝∫　　２sin2 θ・cosθ・２sinθ・cosθｄθ
　　　０

　　　π/2
　＝∫　　４sin3 θ・cos2 θｄθ
　　　０

　　　　　π/2
　＝－４∫　（cos2 θ－cos4 θ）ｄcosθ
　　　　　０

　　　　　cos3 θ　　cos5 θ　　π/2
　＝－４［――――－――――　］
　　　　　　３　　　　　５　　　０

　　　　　　０　０　　　１　１
　＝－４｛（―－―）－（―－―）｝
　　　　　　３　５　　　３　５

　　　　　　　　２　　　８
　＝－４・（－――）＝――………（答）
　　　　　　　１５　　１５

※極座標に変換して、
　　１　　　π/4
４∫　　　∫　　√（ｒcosθ）・ｒ・ｄｒｄθ
　　1/√２　０　　　　　　　　^↑^
　　　　　　　　　　　　　　　極座標に変換するときは
　　　　　　　　　　　　　　　関数行列式（ヤコビアン）
　　　　　　　　　　　　　　　より、｜Ｊ｜＝ｒをつける。

しかし、√cosθの積分ができず、頓挫してしまった。

問２
（１）（２）

※未解決問題に移したところ、星野さんからアドバイスをいただきました。
感謝！！

お便り２００１／９／５
from=星野敏司

問 2
補題
∫_0^∞ e^(-x^2) dx = (√π)/2

証明:
D = {(x, y)| x ≧ 0, y ≧ 0},
D_R = {{(x, y)| x^2 + y^2 ≦ R^2, x ≧ 0, y ≧ 0}
と置く。R→∞ の時 D_R→D.

先ず ∫_D_R e^(-x^2-y^2) dxdy で x = r cosθ, y = r sinθ と置くと,
∫_D_R e^(-x^2-y^2) dxdy
= ∫_D_R e^(-r^2) rdrdθ
= (π/2)[-e^(r^2)/2]_0^R
= (π/4)(1-e^(-R^2))→π/4 as R→∞.
よって
∫_D e^(-x^2-y^2) dxdy = π/4.
一方
左辺 = ∫_D e^(-x^2) e^(-y^2) dx dy
= (∫_0^∞ e^(-x^2)dx)(∫_0^∞ e^(-y^2)dy)
= (∫_0^∞ e^(-x^2)dx)^2.
従って言えた。

① 与式 = ∫_(-∞)^∞ e^(-(x+2)^2 + 4) dx
= e^4 ∫_(-∞)^∞ e^(-(x+2)^2) dx
= e^4 ∫_(-∞)^∞ e^(-x^2) dx   …   平行移動
= 2 e^4 ∫_0^∞ e^(-x^2) dx   …   対称性
= e^4 √π.

② 与式 = ∫_0^∞ x^2 e^(-x^2) dx
= ∫_0^∞ x d(-e^(-x^2)/2)
= [-x e^(-x^2)/2]_0^∞ + (1/2)∫_0^∞ e^(-x^2) dx
= (√π)/4.