質問

問１
不等式6X＾2＋7X-5≦0を解くと、□≦X≦□となる。
同様に、不等式２X＾2＞5X＋12を解くと、X＜□、X＞□となる。この２つ
の不等式をともに満たすXの値の範囲は、□≦X＜□である。

問２
ａを定数とするとき、|Ｘ｜+2｜ｙ｜=2とｙ=1/4Ｘ＾2-ａとの交点の個数を
求めよ。

問３
2次関数ｆ(X)=ａＸ＾2－2ｂX－ａを考える。ａ、ｂは定数で、ａ＞0とする。
　(1)放物線ｙ＝f(X)の頂点の座標を求めよ。
　(2)f(X)が区間－1≦X≦1で最大値2、最小値－4をとるとき、
　　ａ、ｂの値をもとめよ。

問４
X、ｙが実数で、X＾2＋ｙ＾2＝2Xを満たす時、X＋ｙの最大値と最小値を
求めよ。

問５
(1)Xの2次方程式2kX^2＋2(k－1)X＋(K＋3)＝0が相異なる２つの実数解を
　もつとき、実数である定数kの値の範囲を求めよ。

(2)2次方程式X^2＋X＋2＝0の２つの解を、α、βとするとき、
　(α^2＋5α＋2)(β^2＋7β＋2)の値を求めよ。

(3)2次方程式X^2－(m－10)X＋m＋14＝0の異なる２つの実数解がともに負
となるようなmの値の範囲を求めよ。

問６
Ａの実数の定数として、Xの方程式
ａX^3‐(ａ＋1)X^2－2X＋3＝0・・・①
の実数解の個数を考える。ただし、重解は1個と考える。
(1)方程式の①の左辺を因数分解せよ。

(2)ａ＝2のとき、方程式①の実数解を求めよ。

(3)方程式①実数解の個数が2個となるとき、ａの値と解を求めよ。

問７
(1)等式ab=2ａ+4ｂ-5を満たす正の整数ａ、ｂの組をすべて求めよ。

(2)X^2＋6ｙ^2=360を満たす正の整数X、ｙの値を求めよ。

問８
Xについての２つの2次不等式X^2－2X－8＜０
X^2＋(4－ａ)X－4ａ≧０を同時に満たす整数は、ただ1つであるという。
このとき、ａの値の範囲を求めよ。

お返事２００１／８／１０
from=武田

問１
６ｘ²＋７ｘ－５≦０より、（２ｘ－１）（３ｘ＋５）≦０
　　５　　　１
∴－―≦ｘ≦―
　　３　　　２

２ｘ²＞５ｘ＋１２
２ｘ²－５ｘ－１２＞０より、（２ｘ＋３）（ｘ－４）＞０
　　　　３
∴ｘ＜－―，４＜ｘ
　　　　２


共通部分は
　５　　　　３
－―≦ｘ＜－―　………（答）
　３　　　　２

問２
｜ｘ｜＋２｜ｙ｜＝２のグラフは菱形となる。
ｘ≧０，ｙ≧０のとき、ｘ＋２ｙ＝２
ｘ≧０，ｙ＜０のとき、ｘ－２ｙ＝２
ｘ＜０，ｙ≧０のとき、－ｘ＋２ｙ＝２
ｘ＜０，ｙ＜０のとき、－ｘ－２ｙ＝２

　　１
ｙ＝―ｘ²－ａとｘ－２ｙ＝２の接点Ａのときのａを求めると、
　　４

４ｙ＝ｘ²－４ａ
　　＝（２ｙ＋２）²－４ａ
４ｙ²＋８ｙ＋４－４ｙ－４ａ＝０
４ｙ²＋４ｙ＋４－４ａ＝０
ｙ²＋ｙ＋（１－ａ）＝０
判別式Ｄ＝０より、
Ｄ＝１－４（１－ａ）＝０
１－４＋４ａ＝０
４ａ＝３

　　　３
∴ａ＝―
　　　４

　　１
ｙ＝―ｘ²－ａのｙ切片－ａを上から下にずらしながら
　　４
交点の数を数えていくと、



｛－ａ＞１のとき、ａ＜－１では、交点は０個
｛－ａ＝１のとき、ａ＝－１では、交点は１個
｛　　　　　　３　　　　３
｛１＞－ａ＞－―のとき、―＞ａ＞－１では、交点は２個
｛　　　　　　４　　　　４
｛
｛　　　　３　　　　　　３
｛－ａ＝－―のとき、ａ＝―では、交点は４個
｛　　　　４　　　　　　４
｛
｛　３　　　　　　　　　　３
｛－―＞－ａ＞－１のとき、―＜ａ＜１では、交点は６個
｛　４　　　　　　　　　　４
｛
｛－ａ＝－１のとき、ａ＝１では、交点は３個
｛－ａ＜－１のとき、ａ＞１では、交点は０個　　………（答）

問３
ｆ（ｘ）＝ａｘ²－２ｂｘ－ａ（ただし、ａ＞０）
平方完成すると、
　　　　　　　　　ｂ　　　ａ²＋ｂ²
ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ－―）²－―――――
　　　　　　　　　ａ　　　　　ａ
頂点のｘ座標が次の４つの場合に最大値・最小値の取り方が変わるから、



ｂ
―≦－１のとき、最小値ｆ（－１）＝－４、最大値ｆ（１）＝２
ａ　　　　　　　となるａ，ｂは存在しない。

　　　ｂ　　　　　　　　　　　ｂ
－１＜―≦０のとき、最小値ｆ（―）＝－４、最大値ｆ（１）＝２
　　　ａ　　　　　　　　　　　ａ
　　　　　　　　となるａ＝２±√３、ｂ＝－１
　　　　　　　　ａ＋ｂ＞０より、ａ＝２＋√３、ｂ＝－１

　　ｂ　　　　　　　　　　　ｂ
０＜―≦１のとき、最小値ｆ（―）＝－４、最大値ｆ（－１）＝２
　　ａ　　　　　　　　　　　ａ
　　　　　　　　となるａ＝２±√３、ｂ＝１
　　　　　　　　ａ－ｂ≧０より、ａ＝２＋√３、ｂ＝１

　　ｂ
１＜―のとき、最小値ｆ（１）＝－４、最大値ｆ（－１）＝２
　　ａ　　　　　となるａ，ｂは存在しない。

したがって、
（ａ，ｂ）＝（２＋√３，±１）………（答）

問４
ｘ²＋ｙ²＝２ｘ
（ｘ－１）²＋ｙ²＝１
ｘ＋ｙ＝ｋとおくと、
ｙ＝－ｘ＋ｋ



ｋが最大・最小になるのは、直線と円が接するときだから、
（ｘ－１）²＋（－ｘ＋ｋ）²＝１
２ｘ²－２（１＋ｋ）ｘ＋ｋ²＝０
判別式Ｄ＝０より、
Ｄ／４＝（１＋ｋ）²－２ｋ²＝０
ｋ²－２ｋ－１＝０
ｋ＝１±√２

したがって、
最大値はｋ＝１＋√２
最小値はｋ＝１－√２………（答）

問５
（１）２ｋｘ²＋２（ｋ－１）ｘ＋（ｋ＋３）＝０
が異なる実数解を持つには、判別式Ｄ＞０より、
Ｄ／４＝（ｋ－１）²－２ｋ（ｋ＋３）＞０
ｋ²＋８ｋ－１＜０
ｋ＝－４±√１７より、

－４－√１７＜ｋ＜－４＋√１７………（答）

（２）ｘ²＋ｘ＋２＝０の解をα、βとすると、
α²＋α＋２＝０より、
α²＋５α＋２＝（α²＋α＋２）＋４α＝４α
β²＋β＋２＝０より、
β²＋７β＋２＝（β²＋β＋２）＋６β＝６β
したがって、
与式＝（α²＋５α＋２）（β²＋７β＋２）
　　＝４α・６β＝２４αβ
解と係数の関係より、
αβ＝２
したがって、
与式＝２４・２＝４８………（答）

（３）ｘ²－（ｍ－１０）ｘ＋（ｍ＋１４）＝０が異なる実数解を持つから
判別式Ｄ＞０より
Ｄ＝（ｍ－１０）²－４（ｍ＋１４）＞０
ｍ²－２４ｍ＋４４＞０
（ｍ－２２）（ｍ－２）＞０
ｍ＜２，２２＜ｍ

２解がともに負より、α＋β＜０、αβ＞０
解と係数の関係より、
ｍ－１０＜０∴ｍ＜１０
ｍ＋１４＞０∴ｍ＞－１４



したがって、
－１４＜ｍ＜２………（答）

問６
ａｘ³－（ａ＋１）ｘ²－２ｘ＋３＝０
（１）組み立て除法より、
ａ　－（ａ＋１）　－２　　３　｜１
　　　　ａ　　　　－１　－３　　￣
―――――――――――――――――
ａ　　　－１　　　－３｜　０

（ｘ－１）（ａｘ²－ｘ－３）＝０………（答）

（２）ａ＝２のとき、
（ｘ－１）（２ｘ²－ｘ－３）＝０
（ｘ－１）（２ｘ－３）（ｘ＋１）＝０
　　　　　３
∴ｘ＝１，―，－１………（答）
　　　　　２

（３）解が２個となるのは、片一方が重解の時だから、
ｘ＝１が重解の時、ａｘ²－ｘ－３＝０に代入すると、
ａ－１－３＝０∴ａ＝４
４ｘ²－ｘ－３＝０
（４ｘ＋３）（ｘ－１）＝０
　　　　３
∴ｘ＝－―，１
　　　　４
したがって、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　３
ａ＝４のとき、ｘ＝１（重解），ｘ＝－―………（答）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　４

ｘ＝１でない方が重解の時、ａｘ²－ｘ－３＝０が平方式となるから
　　　　　　　　　　　　　１　　　　１
ａｘ²－ｘ－３＝ａ（ｘ－――）²－――－３
　　　　　　　　　　　　２ａ　　　４ａ

　　１　　　　　　　　　　　１
－――－３＝０より、ａ＝－――
　４ａ　　　　　　　　　　１２

　　１
－――ｘ²－ｘ－３＝０
　１２

ｘ²＋１２ｘ＋３６＝０
（ｘ＋６）²＝０
∴ｘ＝－６（重解）

したがって、
　　　　１
ａ＝－――のとき、ｘ＝１，ｘ＝－６（重解）………（答）
　　　１２

問７
（１）ａｂ＝２ａ＋４ｂ－５
（ａ－４）ｂ＝２ａ－５

　　２ａ－５　　　　３
ｂ＝――――＝２＋―――
　　ａ－４　　　　ａ－４

ｂが整数となるから、分母の（ａ－４）は±１または±３の場合のみ。
ａ－４＝１のとき、ａ＝５、ｂ＝５
ａ－４＝－１のとき、ａ＝３、ｂ＝－１←これは不適（∵正の整数）
ａ－４＝３のとき、ａ＝７、ｂ＝３
ａ－４＝－３のとき、ａ＝１、ｂ＝１

したがって、
（ａ，ｂ）＝（５，５）、（７，３）、（１，１）………（答）

（２）ｘ²＋６ｙ²＝３６０
ｘ²＝３６０－６ｙ²
　　＝６（６０－ｙ²）
ｘ²は６の倍数で平方数だから

６²＝６（６０－ｙ²）より、
６＝６０－ｙ²
ｙ²＝５４←平方数ではない

１２²＝６（６０－ｙ²）
２４＝６０－ｙ²
ｙ²＝３６
∴ｙ＝６

１８²＝６（６０－ｙ²）
５４＝６０－ｙ²
ｙ²＝６←平方数ではない

したがって、
（ｘ、ｙ）＝（１２，６）………（答）

問８
ｘ²－２ｘ－８＜０
（ｘ－４）（ｘ＋２）＜０
∴－２＜ｘ＜４
ｘ²＋（４－ａ）ｘ－４ａ≧０
（ｘ＋４）（ｘ－ａ）≧０
－４≦ａのとき、ｘ≦－４，ａ≦ｘ
ａ≦－４のとき、ｘ≦ａ，－４≦ｘ



整数が唯１つ答えの範囲にはいるのは、ａの範囲が次の時である。
２＜ａ≦３………（答）