質問

はじめまして。現在大学１年のノブです。課題で出されたレポートが
どうしても解けず、困っているので質問させていただきます。

　問、次の曲面の表面積を求めよ。
　　（１）平面：ｘ＋ｙ＋ｚ＝ａ（ａ＞０）の
　　　　　｛x≧０，y≧０，z≧０｝にある部分

　　（２）曲面：z＝xyの円柱：x＾２＋ｙ＾２≦ａ＾２　
　　　　　　の内にある部分

よろしくおねがいします。

お返事２００１／７／２８
from=武田

問１


表面積Ｓは領域Ｄ｛０≦ｘ≦ａ、０≦ｙ≦－ｘ＋ａ｝より、

Ｓ＝∫∫ｄｓ
　　　Ｄ

　　ａ　-x+a
　＝∫　∫　√（１＋ｚ_x²＋ｚ_y²）ｄｘｄｙ
　　０　０

　　　ｄ（ａ－ｘ－ｙ）
ｚ_x＝――――――――＝－１
　　　　　ｄｘ

　　　ｄ（ａ－ｘ－ｙ）
ｚ_y＝――――――――＝－１
　　　　　ｄｙ

　　ａ　-x+a
Ｓ＝∫　∫　√３　ｄｘｄｙ
　　０　０

　　ａ　　　　　　　-x+a
　＝∫ｄｘ・［√３ｙ］
　　０　　　　　　　０

　　ａ
　＝∫　（－√３ｘ＋√３ａ）ｄｘ
　　０

　　　－√３ｘ²　　　　　ａ
　＝［―――――＋√３ａｘ］
　　　　　２　　　　　　　０

　　　√３
　＝－――ａ²＋√３ａ²
　　　　２

　　√３
　＝――ａ²………（答）
　　　２

問２
未解決問題に移したところ、星野さんからアドバイスをいただきました。
感謝！！

お便り２００１／９／４
from=星野敏司

S =∫_D√(1 + (z_x)^2 + (z_y)^2)dxdy
=∫_D√(1 + x^2 + y^2)dxdy

x = r cos θ, y = r sin θ, 0 ≦ θ ≦ a
と変換

S = ∫_D √(1 + r^2) r drdθ
= 2π [(1/3)(1+r^2)^(3/2)]_0^a
= 2π((1+a^2)^(3/2) -1)/3