質問＜５１５＞２００１／６／１４
from=あつ
「ベクトル」

問題；3次元空間において
O（0,0,0）A（0，1，1）B（1、-1、-1）C（5，4，3）がある。
四面体OABCの体積を求めよ。

この前に、OAベクトルとOBベクトルの内積やSin∠AOBの値、
△OABの面積、OAベクトルとOBベクトルに直交する単位ベクトル
を求める問題があります。
それはできましたが、これは・・・。

OABを底面と見たら、高さが分からないので、
それをどうやって出したらいいのでしょうか？
お願いします。

お返事２００１／６／１５
from=武田

底面ＯＡＢへ点Ｃから下ろした足をＨとすると、
─→　─→　─→
ＣＨ＝ＯＨ－ＯＣ

─→　　─→　　─→
ＯＨ＝ｓＯＡ＋ｔＯＢ
　　＝ｓ（０　１　１）＋ｔ（１　－１　－１）
　　＝（ｔ　ｓ－ｔ　ｓ－ｔ）

─→
ＣＨ＝（ｔ　ｓ－ｔ　ｓ－ｔ）－（５　４　３）
　　＝（ｔ－５　ｓ－ｔ－４　ｓ－ｔ－３）

─→　─→　─→　─→
ＣＨ⊥ＯＡ、ＣＨ⊥ＯＢより、内積を計算すると、

０・（ｔ－５）＋１・（ｓ－ｔ－４）＋１・（ｓ－ｔ－３）＝０
∴２ｓ－２ｔ－７＝０……①

１・（ｔ－５）－１・（ｓ－ｔ－４）－１・（ｓ－ｔ－３）＝０
∴－２ｓ＋３ｔ＋２＝０……②

①＋②より、
ｔ－５＝０
∴ｔ＝５
したがって、
２ｓ－１０－７＝０
２ｓ＝１７

　　　１７
∴ｓ＝──
　　　　２

─→　　　　　　１７　　　　　１７
ＣＨ＝（５－５　──－５－４　──－５－３）
　　　　　　　　　２　　　　　　２

　　　　　　　１　１
　　＝（０　－─　─　）
　　　　　　　２　２

したがって、高さ
　─→　　　　　　　　　１　　　　１
｜ＣＨ｜＝√｛０2 ＋（－─）2 ＋（─）2 ｝
　　　　　　　　　　　　２　　　　２

　　　　　　　２　　√２
　　　　＝√（─）＝──
　　　　　　　４　　　２

　　　　　　　　√２
底面積△ＯＡＢ＝──（この前に解いていると思うが……？）
　　　　　　　　　２

したがって、
四面体の体積は、三角錐より、
　　１　√２　√２　　２　１
Ｖ＝─・──・──＝──＝─　……（答）
　　３　　２　　２　１２　６

お便り２００１／６／２２～２４
from=Hideo Nakayama

Regarding to Problem No. 515, I found another solution.  I have problems of 
writing mathematical expression with symbols;  therefore, I substitute with 
my own symbols as shown below:
      OA              a vector of O-to-A
      OB              a vector of O-to-B
      OC              a vector of O-to-C 
      ABS(OA)     absolute value or magnitude of a vector 'OA'
      I, J, and K   unit vectors in x-, y-, and z-axis directions, 
respectively
      N                 a unit vector perpendicular to a plane including O, 
A, and B
      X                 a cross product of two vectors (Gaiseki in Japanese?)
      *                  a dot product of two vectors (Naiseki in Japanese?)
Consider vector multiplication of    (OA  X  OB)  *  OC.
    where  OA = J + K,  OB = I - J - K, and  OC = 5I + 4J + 3K
Since  OA  X  OB = N (2 times area of triangle OAB)
and      N  *  OC = height of C to the base triangle OAB
The volume of a cone is given by
           Vol = (base area) times (height) divided by 3
                 = ABS(((OA  X  OB) / 2)  *  OC) / 3
                 
                        |  I     J     K |
                 = ABS (|  0     1     1 |  *  (5I + 4J + 3K)) / 6
                        |  1    -1    -1 |
                 
                 = ABS((J - K)  *  (5I + 4J + 3K)) / 6
                 
                 = 1/ 6 ..........Answer