質問＜５１４＞２００１／６／１３
from=だい
「球と円」

問１
３次元空間内で２つの球が交わって、それにより出てくる円の方程式の
導き方を教えて下さい。

問２
３次元空間内での球の方程式と円の方程式の違いを教えててください。

お返事２００１／６／１５
from=武田

問１

球Ｏの方程式を、ｘ2 ＋ｙ2 ＋ｚ2 ＝ｒ2 とし、
球Ｃの方程式を、ｘ2 ＋ｙ2 ＋（ｚ－ｃ）2 ＝ｓ2 とすると、
２つの球が交わるときにできるのは、
ｒ－ｓ＜ｃ＜ｒ＋ｓ
のときである。
連立する。引き算すると、
ｚ2 －（ｚ－ｃ）2 ＝ｒ2 －ｓ2 
変形して、
２ｃｚ－ｃ2 ＝ｒ2 －ｓ2 

　　ｒ2 －ｓ2 ＋ｃ2 
ｚ＝────────
　　　　２ｃ

これを球に代入すると、
　　　　　　　ｒ2 －ｓ2 ＋ｃ2 
ｘ2 ＋ｙ2 ＋（────────）2 ＝ｒ2 
　　　　　　　　　２ｃ

変形して、
　　　　　　　　　　ｒ2 －ｓ2 ＋ｃ2 
ｘ2 ＋ｙ2 ＝ｒ2 －（────────）2 
　　　　　　　　　　　　２ｃ

この方程式が、赤色の円の方程式である。

問２

球Ｏの方程式を、ｘ2 ＋ｙ2 ＋ｚ2 ＝ｒ2 とし、
平面の方程式を、ｚ＝ｃとすると、
球と平面が交わるときにできるのは、
－ｒ＜ｃ＜ｒ
のときである。
連立する。
ｘ2 ＋ｙ2 ＋ｃ2 ＝ｒ2 
変形して、
ｘ2 ＋ｙ2 ＝ｒ2 －ｃ2 

これが黄色の円の方程式である。