質問＜５０８＞２００１／６／７
from=恵美
「指数方程式」

問題集でどうしても分からない問題があります。
解説を見てもよく分からないので、詳しく教えて下さい。

「方程式（ｅのｘ乗）＝ａｘ＋ｂが実数解をもつための定数ａ、
ｂの条件を求めよ」

という問題です。どうか教えて下さい。お願いします。

お返事２００１／６／８
from=武田

指数関数ｙ＝ｅxと１次関数ｙ＝ａｘ＋ｂの交点が実数解となる。
まず接点のところを考えると、
指数関数の微分と１次関数の傾きが一致するから、
導関数ｙ′＝ｅxより、ｅx＝ａ＞０
ｘ＝ｌｏｇe ａ＝ｌｎ　ａ
ｙ＝ｅln a＝ａ
ｙ－ａ＝ａ（ｘ－ｌｎ　ａ）
ｙ＝ａｘ－ａ・ｌｎ　ａ＋ａ
したがって、
ｂ＝－ａ・ｌｎ　ａ＋ａ
　＝ａ（１－ｌｎ　ａ）

ａ＜０のときは、ｂがなんであっても必ず１点で交わるから、実数解をもつ。
ａ＝０のときは、ｂ＞０であれば、１点で交わるから、実数解をもつ。
ａ＞０のときは、ｂ＞ａ（１－ｌｎ　ａ）のときに２点と交わるから
　　　　　　　　実数解をもつ。
　　　　　　　　ｂ＝ａ（１－ｌｎ　ａ）のときは接するので、実数解をもつ。

ａ，ｂを図にまとめると、次のようになる。
赤色の部分の（ａ，ｂ）のとき、実数解をもつ。