質問＜４９３＞２００１／５／２６
from=ＫＯＯ
「除法」

①組立除法を証明せよ。

②ｘについての整式Pをｘ2乗＋1でわると3x＋2余り、その商を更に
ｘ２乗＋３でわると2x＋３余ると言う。
Pを（ｘ2乗＋１）（ｘ２乗＋ｘ＋１）、（ｘ2乗＋x＋１）で割った
余りをそれぞれ求めよ。

お返事２００１／５／２７
from=武田

問１
組立除法は、イギリスのホーナーによって作られた除法のテクニック
であるが、これを証明するとは、どういうことだろう。考えついたこと
を記す。

ｎ次式ｆ（ｘ）＝ａ0 ＋ａ1 ｘ＋ａ2 ｘ2 ＋ａ3 ｘ3 ＋……＋ａn-1 ｘn-1 ＋ａn ｘn 
とすると、変形して、
ｆ（ｘ）＝ａ0 ＋ｘ（ａ1 ＋ｘ（ａ2 ＋ｘ（ａ3 ＋……＋ｘ（ａn-1 ＋ｘ（ａn ））……）））
これを並べたのが組立除法である。

問２
Ｐ（ｘ）÷（ｘ2 ＋１）＝Ｑ（ｘ）……３ｘ＋２
Ｑ（ｘ）÷（ｘ2 ＋３）＝Ｒ（ｘ）……２ｘ＋３

Ｐ（ｘ）＝（ｘ2 ＋１）・Ｑ（ｘ）＋（３ｘ＋２）
Ｑ（ｘ）＝（ｘ2 ＋３）・Ｒ（ｘ）＋（２ｘ＋３）より、

Ｐ（ｘ）＝（ｘ2 ＋１）・（（ｘ2 ＋３）・Ｒ（ｘ）＋（２ｘ＋３））＋（３ｘ＋２）
　　　　＝（ｘ2 ＋１）（ｘ2 ＋３）・Ｒ（ｘ）＋（ｘ2 ＋１）（２ｘ＋３）＋（３ｘ＋２）
　　　　＝（ｘ2 ＋１）（ｘ2 ＋ｘ＋１）・Ｒ（ｘ）－（ｘ2 ＋１）（ｘ－２）・Ｒ（ｘ）＋（ｘ2 ＋１）（２ｘ＋３）＋（３ｘ＋２）
　　　　＝（ｘ2 ＋１）（ｘ2 ＋ｘ＋１）・Ｒ（ｘ）＋（ｘ2 ＋１）｛（－ｘ＋２）・Ｒ（ｘ）＋（２ｘ＋３）｝＋（３ｘ＋２）

したがって、
Ｐ（ｘ）÷（ｘ2 ＋１）（ｘ2 ＋ｘ＋１）＝Ｒ（ｘ）……（ｘ2 ＋１）｛（－ｘ＋２）・Ｒ（ｘ）＋（２ｘ＋３）｝＋（３ｘ＋２）

Ｐ（ｘ）＝（ｘ2 ＋１）・Ｑ（ｘ）＋（３ｘ＋２）
　　　　＝（ｘ2 ＋ｘ＋１）・Ｑ（ｘ）－ｘ・Ｑ（ｘ）＋（３ｘ＋２）

したがって、
Ｐ（ｘ）÷（ｘ2 ＋ｘ＋１）＝Ｑ（ｘ）……－ｘ・Ｑ（ｘ）＋（３ｘ＋２）

※Ｒ（ｘ）やＱ（ｘ）が余りから消えないので、変ですね。