質問＜４６５＞２００１／５／１２
from=ももっち
「Σの計算」

次の数列の初項から第ｎ項までの和を求めよ。
１＋３，１＋３＋９，１＋３＋９＋２７，・・・
という問題なんですが、

解答には
この数列の第ｋ項は
ａｋ＝１＋３＋３の２乗＋・・・＋３のｋ乗＝１／２（３のk+1乗ー１）
となっているんですが、何で３のｋ乗になるのか分かりません。
初項が３の０乗、第２項が３の１乗、第３項が３の２乗となっているの
だから、第ｋ項は３のk-1乗なのではないでしょうか。
項数がｋ＋１個であるから、第ｋ項がａk+1＝・・・
ならわかるのですが・・・。
見にくくてすみませんがよろしくお願いします。

お返事２００１／５／１２
from=武田

数列が１，３，３2 ，３3 ，……ならば、
第ｋ項が３k-1となりますが、
問題の数列は１＋３，１＋３＋９，１＋３＋９＋２７，……なので、
初項が１＋３＝３0 ＋３1 
第２項が１＋３＋９＝３0 ＋３1 ＋３2 
第３項が１＋３＋９＋２７＝３0 ＋３1 ＋３2 ＋３3 ということで、
第ｋ項は３0 ＋３1 ＋３2 ＋３3 ＋……＋３k 
となります。
したがって、
　　　１（３k+1 －１）
ａk ＝────────
　　　　　３－１

　　　１
　　＝─（３k+1 －１）
　　　２

初項から第ｎ項までの和だから
n　　　　　n　　１
Σ　ａk ＝Σ　　─（３k+1 －１）
k=1　　　　k=1　２

　　　　　n　　　９　　　　　　１
　　　　＝Σ　（──・３k-1 －──）
　　　　　k=1　　２　　　　　　２

　　　　　９
　　　　　─（３n －１）
　　　　　２　　　　　　　１
　　　　＝───────－─・ｎ
　　　　　　　３－１　　　２

　　　　　９　　　　９　ｎ
　　　　＝─・３n －─－─　……（答）
　　　　　４　　　　４　２