質問

積分の基本の事について質問したいとおもいます
よろしくお願いいたします

T-y　グラフがあって　y＝f（T）で表される　関数があったとします
この関数は曲線であり　常にくねくね折りまがっており
f（T）＝k（定数）ノように　T軸に一定ではありません

T＝t　からT＝t+Δt　（Δtは微少区間）の間の事を話したいと思います
このtからt+Δtまでの区間を積分して面積を求める時の話しです。
（つまりt≦T≦t+Δt　の間のT軸とy＝f（T）でかこマれた面積のこと）

ここで　僕に二人の人が別々の意見をいいました
ある人１の僕への意見をまずかきます
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（ある人1の意見）
　よく長方形をだして重ねあわせる考えをだしますね  
　その時　Δt→0　においてはこの時微少区間Δt内で
　f（T）は一定だとしてf（t）Δtがもとめる面積である
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別の人の意見2　を次にかきます
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（別の人2の意見）
　長方形の面積を考えますが
　決して微少区間Δt区間でf（T）は一定ではありません
　f（t）Δtというのは求めたい面積の近似であり
　例え微少区間であってもf（T）は決して一定ではありま
　せん
　そしてf（t）Δtも求めたい面積と同じではありません　
　しかし　f（t）Δt　において
　Δt→0　のとき　f（t）Δt　は求めたい面積に限りなく
　近付きます
　よって　lim(Δt→0）　f（t）Δtが　求めたい面積である
　がやはりいっておきたいのはlim(Δt→0）　f（t）Δtが求
　めたい面積を表すがΔt→0においても
　f（T）は一定ではないということです
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どっちが正しいんでしょうか？　教えてください

お返事２００１／５／１１
from=武田

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（ある人1の意見）
　よく長方形をだして重ねあわせる考えをだしますね  
　その時　Δt→0　においてはこの時微少区間Δt内で
　f（T）は一定だとしてf（t）Δtがもとめる面積である
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図のように、⊿ｔ間の面積と等しくなるような長方形を作り、
ｆ（Ｔ）・⊿ｔとする。
しかし、⊿ｔ─→０ならば、
ｆ（Ｔ）・⊿ｔ─→ｆ（ｔ）ｄｔ
となり、全体の面積は定積分となる。

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（別の人2の意見）
　長方形の面積を考えますが
　決して微少区間Δt区間でf（T）は一定ではありません
　f（t）Δtというのは求めたい面積の近似であり
　例え微少区間であってもf（T）は決して一定ではありま
　せん
　そしてf（t）Δtも求めたい面積と同じではありません　
　しかし　f（t）Δt　において
　Δt→0　のとき　f（t）Δt　は求めたい面積に限りなく
　近付きます
　よって　lim(Δt→0）　f（t）Δtが　求めたい面積である
　がやはりいっておきたいのはlim(Δt→0）f（t）Δtが求め
　たい面積を表すが、Δt→0においても
　f（T）は一定ではないということです
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図のように、⊿ｔ間の面積と比べると、近似的な面積を表す長方形
ｆ（ｔ）・⊿ｔは、⊿ｔ─→０とすると、
ｆ（ｔ）・⊿ｔ─→ｆ（ｔ）・ｄｔ
となり、全体の面積は定積分となる。


※と言うことで、二人の意見のどちらのやり方でも、定積分の考え
　に至るので、どちらも正しいと思います。