質問＜４２２＞２００１／３／１７
from=マスマニア
「同値関係について」

ある参考書をみたところ
一般に

√a=b　⇔　a=b^2, b≧0　　が成立すると書いてありました

そして　『a≧0　は別にたてる必要がない。なぜならa=b^2の右辺の形が
a≧0を保証しているからだ』と書いてありました。しかし　いまいち納得
がいきません
a≧0もたてた方がいいように思うんですが…

　　このような問題　例えば

√（2x-1）＝1-x　において

1-x≧0⇔　x≦1　とすれば　2x-1≧0をたてる必要は本当にないといえる
のでしょうか？
この問題においては √（2x-1）＝1-xを両辺2乗してでてくる解は
x＝2+√2又は2-√2で　x≦1だから　2-√2　が正解であり　
これは同時に 2x-1≧0もみたしてますが
このように　b≧0　によってみちびかれた　
解は必ず a≧0によってでた範囲にあてはまる
となぜいえるのでしょうか？

　　よろしくお願いいたします

お返事２００１／３／１８
from=武田

√ａ＝ｂ⇔ａ＝ｂ2 ，ｂ≧０
　　　同値
√ａ＝ｂより、
左辺が無理数であるためには、ａ≧０（ａ＜０ならば虚数になる）
√ａ＝＋√ａのことだから、ｂ≧０
したがって、ａ－ｂ座標系の第１象限となる。

一方、ａ＝ｂ2 は、ｂ2 ≧０より、ａ≧０
ｂ2 ＝（±ｂ）2 より、
第１，第４象限となる。

黄色の集合⊂水色の集合

同値となるためには、黄色の集合＝水色の集合とならなくてはならない
ので、条件ｂ≧０が必要となる。

では、具体例で考えてみよう。
√（２ｘ－１）＝１－ｘ
これは
｛ｙ＝√（２ｘ－１）
｛ｙ＝１－ｘ
の交点Ａが解である。

これを２乗すると、
２ｘ－１＝（１－ｘ）2 
これは
｛ｙ＝２ｘ－１
｛ｙ＝（１－ｘ）2 
の交点Ａ，Ｂが解となる。


交点Ａ，Ｂのどちらが元の方程式の解となるかは、条件が必要となる。
無理数だから、√の中身が（２ｘ－１）≧０より、
　　１
ｘ≧─……①
　　２
√（２ｘ－１）＝＋√（２ｘ－１）だから、（１－ｘ）≧０より、
ｘ≦１……②
①②より、条件は
１
─≦ｘ≦１
２

この条件より、２乗した方程式の解はＡの方のみとなる。
※黄色の集合と水色の集合の論理からすると、ａの条件ｘ≧１／２は
　いらないのかもしれない。つまり、ｂの条件ｘ≦１のみで判断でき
　るのであろう。
　（しかし、私は１／２≦ｘ≦１を条件にしている。）