質問＜４０６＞２００１／２／８
from=資格試験受験生
「連立方程式」

武田先生、先日は回答してくださいましてありがとうございました。
ところで、お手数で恐縮ですが、また質問させていただきますと、
以下のような連立方程式があるのですが、これはどのように解けば
よいのでしょうか？

a、b、c、d、e、fは定数、x、yは変数で、
連立方程式は
 ax＋by＋c＝x
[
 dx＋ey＋f＝y
です。
解答は、
x＝(1－e)c＋bf
　 ――――――――
　 (1－a)(1－e)－bd
y＝cd＋(1－a)f
　 ――――――――
   (1－a)(1－e)－bd
となるようなのですが、
私がつっかえてしまうのが、xの場合で申しますと、
x＝　　bf　　　÷ 1－　　 bd　　　＋
  ――――――       ――――――
　(1－e)(1－a)       (1－e)(1－a)

 c    　　 1－bd
―― ÷ ――――――
1－a　　(1－e)(1－a) 
から、どう計算すればよいのかがわからないのですが。

お返事２００１／２／９
from=武田

資格試験受験生さんが計算した途中の式がどのようにして
求めたのか分かりませんが、普通答えの出し方は２つあります。
（１）連立方程式の消去法で解く方法
（２）行列から求める方法

まず、消去法でやってみましょう。
｛ ax＋by＋c＝x
｛ dx＋ey＋f＝y
変形して、
｛（ａ－１）ｘ＋ｂｙ＝－ｃ……①
｛ｄｘ＋（ｅ－１）ｙ＝－ｆ……②
①×（ｅ－１）－②×ｂより、
　（ａ－１）（ｅ－１）ｘ＋ｂ（ｅ－１）ｙ＝－ｃ（ｅ－１）
－）　　　　　　　ｂｄｘ＋ｂ（ｅ－１）ｙ＝－ｂｆ
────────────────────────────
｛（ａ－１）（ｅ－１）－ｂｄ｝ｘ＝－ｃ（ｅ－１）＋ｂｆ
変形して
　　　　－ｃ（ｅ－１）＋ｂｆ
ｘ＝──────────────……（答）
　　（ａ－１）（ｅ－１）－ｂｄ

行列でもやってみましょう。
｛（ａ－１）ｘ＋ｂｙ＝－ｃ……①
｛ｄｘ＋（ｅ－１）ｙ＝－ｆ……②
行列になおして、
（ａ－１　ｂ　）（ｘ）　（－ｃ）
（　　　　　　）（　）＝（　　）
（　ｄ　ｅ－１）（ｙ）　（－ｆ）

Ａ＝（ａ－１　ｂ　）、Ｘ＝（ｘ）、Ｂ＝（－ｃ）とおくと、
　　（　　　　　　）　　　（　）　　　（　　）
　　（　ｄ　ｅ－１）　　　（ｙ）　　　（－ｆ）

行列式　ｄｅｔＡ＝（ａ－１）（ｅ－１）－ｂｄだから
逆行列
　　　　　１　　（ｅ－１　－ｂ）
Ａ-1＝────・（　　　　　　）となる。
　　　ｄｅｔＡ　（－ｄ　ａ－１）

Ａ・Ｘ＝Ｂより、
Ｘ＝Ａ-1・Ｂ

　　　　１　　（ｅ－１　－ｂ）　（－ｃ）
　＝────・（　　　　　　）・（　　）
　　ｄｅｔＡ　（－ｄ　ａ－１）　（－ｆ）

　　　　１　　（－ｃ（ｅ－１）＋ｂｆ　）
　＝────・（　　　　　　　　　　　）
　　ｄｅｔＡ　（　ｃｄ－ｆ（ａ－１）　）

したがって、
　　－ｃ（ｅ－１）＋ｂｆ　　　－ｃ（ｅ－１）＋ｂｆ
ｘ＝──────────＝──────────────……（答）
　　　　　ｄｅｔＡ　　　　（ａ－１）（ｅ－１）－ｂｄ