質問＜３８６７＞２０１３／１１／２７
from=サブウェイ
「整数」

ｐ、ｑを互いに素な２以上の整数、ｍ、ｎはｍ＜ｎなる正の整数とする。
このとき、分母がｐ＾２ｑ＾２で分子がｐでも
ｑでも割り切れない分数のうち、ｍよりも大きくｎよりも
小さいものの総数を求めよ
解説解答お願いします

★希望★完全解答★

お便り２０１３／１２／８
from=tamori

求める分数の分子をkとすると
m＜k/p^2*q^2＜nと書けます。分母を払うと
m*p^2*q^2＜k＜n*p^2*q^2となり、
n*p^2*q^2の中にpの倍数はn*p*q^2個,
qの倍数はn*p^2*q個、pqの倍数はn*p*q個あります。
だからn*p^2*q^2の中にpの倍数でもqの倍数でもないものは、(n*p^2*q^2-n*p*q^2-n*p^2*q+n*p*q)個あります。
同様にm*p^2*q^2の中のpの倍数でもqの倍数でもないものは(m*p^2*q^2-m*p*q^2-m*p^2*q+m*p*q)個あります。
だからｋの個数は
(n-m)(p^2*q^2-p*q^2-p^2*q+p*q)=(n-m)pq(p-1)(q-1)となる、で良いと思います。