質問

数列｛a_n｝があって、全てのnについて、
初こうa_1から第nこうa_nまでの和が(a_n+1/4)^2に等しいとする
(1)a_nが全て正とする。一般こうa_nを求めよ
(2)最初の100こうのうち、1つは負で他は正とする。a_100を求めよ
これもお願いします

★希望★完全解答★

お便り２０１２／１２／２８
from=phaos

初項から第 n 項までの和を (いつものように) S_n と書く。
先ず a_1 = S_1 = (a_1 + 1/4)^2 より (a_1 - 1/4)^2 = 0. 従って a_1 = 1/4. 
n ≧ 2 で
S_n = S_(n - 1) + a_n = (a_(n - 1) + 1/4)^2 + a_n
で一方
S_n = (a_n + 1/4)^2
でもあるから
(a_n + 1/4)^2 = (a_(n - 1) + 1/4)^2 + a_n
整理すると
(a_n)^2 - (1/2)a_n + 1/16 = (a_(n - 1) + 1/4)^2
(a_n - 1/4)^2 = (a_(n - 1) + 1/4)^2
a_n - 1/4 = ±(a_(n - 1) + 1/4)
a_n = ±(a_(n - 1) + 1/4) + 1/4. 

(1) 復号が + の場合
a_n = a_(n - 1) + 1/2
復号が - の場合
a_n = -a_(n - 1). 
復号が - の場合は a_n が全て正であるという仮定から a_(n - 1) > 0 でもあり 
一方直ぐ上の式から a_n = -a_(n - 1) < 0 となって矛盾するから, 
復号は + 意外あり得ない (各 n で復号が異なっていたとしても矛盾)。

従って a_n = a_(n - 1) + 1/2 であり, これは公差 1/2 の等差数列であることを示しているから
a_n = 1/4 + (1/2)(n - 1) =(2n - 1)/4. 

(2)
 a_1 = 1/4 であるから, 全ての n で a_n = a_(n - 1) + 1/2 であったり
 a_n = -a_(n - 1) であったりすると, 第 100 項までで, 一つだけが負で, 
残りが正ということはありえない。

従って, ある m (1 < m ≦ 100) があって, 
a_m = -a(m - 1),
a_(m + 1) = -a_m,
a_n = a_(n - 1) + 1/2 (n ≠ m, m + 1)
となっているということ以外にあり得ない。
これは a_(m - 1) = a_(m + 1) となっていることを示している。

従って, m = 100 の場合, (1) の結果から a_100 = -a_99 = -(2・99 - 1)/4 = -197/4. 
1 < m < 100 の場合, a_100 = (2・98 - 1)/4 = 195/4. 

(最後の部分は, 例えば m = 2 とすると 1/4, -1/4, 1/4, 3/4, ... と,
 n ≧ 3 では番号が二つ減っているのと同じであるということから分かる)

お便り２０１２／１２／２８
from=ajakong

解答ありがとうございます。
(1)は理解できましたが(2)が理解できません。

ある数mを定義したのはa_mの時に数列a_nが一つ負になるようにするため。
1<m<100の場合ある数mにたいしてa_m－1=a_m+1となることを使って
a_100=a_98を使ったらm=99の時だけにしか対応できなく全てのmに対して
成り立つと思えないんですが
どうして全てのmに対して成り立つと言えるのでしょうか？
こんがらがってます

お返事２０１７／３／１０
from=武田

正負関係なく、元々の条件から求まる式は下記のものであるから
a_n = ±(a_(n - 1) + 1/4) + 1/4
この数列を５項まで書き出してみると、条件にあった数列が色々考えられる。
（１）は、この中の正のみを取り出したものであり、（２）は１つだけ負を
入れたものだと分かる。理解するときは、この図が役立つだろう。