質問＜３８３７＞２０１２／１２／２６
from=gannma
「多項式」

自然数nに対して、f(n)=5^nとする
(1)f(n)を13で割ったときの余りをしらべよ
(2)g(n)=f(3n)+f(2n)+f(n)+1を13で割った余りをしらべよ
わかりませんので解答お願いします

★希望★完全解答★

お返事２０１２／１２／２７
from=武田

（１）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１３で割ったときの余りの関数
ｎ＝１のとき、ｆ（１）＝５＾１＝５　　　　　ｒ（１）＝５ｍｏｄ１３＝５
ｎ＝２のとき、ｆ（２）＝５＾２＝２５　　　　ｒ（２）＝２５ｍｏｄ１３＝１２
ｎ＝３のとき、ｆ（３）＝５＾３＝１２５　　　ｒ（３）＝１２５ｍｏｄ１３＝８
ｎ＝４のとき、ｆ（４）＝５＾４＝６２５　　　ｒ（４）＝６２５ｍｏｄ１３＝１
ｎ＝５のとき、ｆ（５）＝５＾５＝３１２５　　ｒ（５）＝３１２５ｍｏｄ１３＝５
ｎ＝６のとき、ｆ（６）＝５＾６＝１５６２５　ｒ（６）＝１５６２５ｍｏｄ１３＝１２
………
より、
４回周期で余りが変わるので、１３÷４＝３…１
因数定理より、ｆ（１３）＝ｒ（１３）＝ｒ（１）＝５

（２）
ｇ（ｎ）＝ｆ（３ｎ）＋ｆ（２ｎ）＋ｆ（ｎ）＋１に、ｎ＝１３を代入すると、
因数定理より、１３で割ったときの余りは、ｇ（１３）となる。
ｇ（１３）＝ｆ（３９）＋ｆ２６）＋ｆ（１３）＋１
　　　　　＝ｒ（３）＋ｒ（２）＋ｒ（１）＋１
　　　　　＝８＋１２＋５＋１
　　　　　＝２６ｍｏｄ１３
　　　　　＝０