質問

規則性を見つけよ。
(1)
1/(1-x-x^2)＝Σ(n=0～∞)a_n（x^n)
に対して、a_0，・・・,a_10を求め、その規則性を見つけよ。
そして、どうしてその規則性が成り立つのか説明せよ。
(2)
（2-x）/（1-x-x^2)＝Σ(n=0～∞)a_n（x^n)
に対して、a_0，・・・,a_10を求め、その規則性を見つけよ。
そして、どうしてその規則性が成り立つのか説明せよ。
(3)
（x^2）/（1-x-x^2-x^3)＝Σ(n=0～∞)a_n（x^n)
に対して、a_0，・・・,a_10を求め、その規則性を見つけよ。
そして、どうしてその規則性が成り立つのか説明せよ。
できるだけ、詳しく教えてください。お願いします。

★希望★完全解答★

お便り２０１０／１２／１１
from=平　昭

　こんばんは。明らかに大学生向けの問題ですね。計算に時間がかかりましたが、本質的に
難しい点はない問題かと思います。
　「できるだけ詳しく」とのことでしたが、

「マクローリン展開」　

f(x)＝f(0)＋xf'(0)＋x^2・f''(0)/(２！) ＋ x^3・f'''(0)/(３！)＋……

は知っていますね? 
ここから説明するのは長くなり過ぎて無理です。知らないなら教科書を見て下さい。

　では、解答です

＜問題（１）＞
　f(x)＝-1/(x^2+x-1)とする。
　方程式　x^2+x-1＝０の２解をα、βと書くと、
解と係数の関係より、α＋β＝αβ＝-1

そして、適当なＡ、Ｂを取れば
　f(x)＝Ａ/(x-α)＋Ｂ/（x-β）と部分分数で表せる。

さて、1/(x-α)をマクローリン展開すれば

1/(x-α)＝Σ(n=0～∞)　-x^n/α^(n+1）であるから
　
f(x)＝Ａ/(x-α)＋Ｂ/（x-β）
　　＝－Σ(n=0～∞)＜｛Ａ/α^(n+1）　＋　Ｂ/β^(n+1）｝x^n＞　
と書け、求めるa_nは

　a_n＝－｛Ａ/α^(n+1）　＋　Ｂ/β^(n+1）｝　　 と表せる。

ここで
　－｛Ａ/α^(n+1）　＋　Ｂ/β^(n+1）｝（α＋β）
＝－（Ａ/α^n　＋　Ｂ/β^n）－｛βＡ/α^(n+1）　＋　αＢ/β^(n+1）｝
＝a_(n-1)－｛αβＡ/α^(n+2）　＋　αβＢ/β^(n+2）｝
で、αβ＝-1だから
＝a_(n-1)＋｛Ａ/α^(n+2）　＋Ｂ/β^(n+2）｝
＝a_(n-1)－a_(n+1)
　
　（α＋β）＝－１も考えれば、結局
－a_n＝a_(n-1)－a_(n+1)

整理して　　　　　　　　　　　
　　
a_（n+1）＝a_n＋a_(n-1)　、、、　　★

マクローリンの定理より

a_0＝f(0)＝１、a_１＝f’(0)＝１

以下、★に従って順に求めれば

a_2＝２、a_3＝３　a_４＝５、a_５＝８　a_６＝13、a_７＝21
a_８＝34、a_９＝55　a_10＝89

規則性とその理由は、★の式とその導出過程より明らかである。


＜問題（２）＞
　f(x)＝x-2/(x^2+x-1)とすれば、問題（１）と同様に

a_（n+1）＝a_n＋a_(n-1)　、、、　　★が成り立つ。
　問題（１）で★を導くには、f(x)の分母で決まるαとβの関係式しか使っておらず、
★はf(x)の分子に関係なく成立する。

そしてマクローリンの定理より
a_0＝f(0)＝２、a_１＝f’(0)＝１

以下、順に求めれば

a_2＝３　a_3＝４　a_４＝７　a_５＝11　a_６＝18　a_７＝29
a_８＝47　a_９＝76　　a_10＝123

規則性とその理由は、★の式とその導出過程より明らかである。


＜問題（３）＞
　f(x)＝-x^2/(x^3＋x^2+x-1)とする。

　方程式　x^3＋x^2+x-1＝０の３解をα、β、γと書く。
解と係数の関係より、
α＋β＋γ＝-1、αβ＋βγ＋γα＝1、αβγ＝１

適当なＡ、Ｂ、Ｃを取れば
　f(x)＝Ａ/(x-α)＋Ｂ/（x-β）＋Ｃ/（x-γ）と部分分数で表せる。

問題（１）、（２）と同様に考えれば

f(x)　＝－Σ(n=0～∞)＜｛Ａ/α^(n+1）　＋　Ｂ/β^(n+1）＋　Ｃ/γ^(n+1）｝x^n＞　と書け、

a_n＝－｛Ａ/α^(n+1）　＋　Ｂ/β^(n+1）　＋Ｃ/γ^(n+1）｝
と表せる。
ここで
（α＋β＋γ）a_n＝－｛Ａ/α^n　＋　Ｂ/β^n　＋Ｃ/γ^n）｝－｛（β＋γ）Ａ/α^(n+1）
　　　　　　　　　　＋　（α＋γ）Ｂ/β^(n+1）　＋（α＋β）Ｃ/γ^(n+1）｝

＝a_（n-1）－｛α（β＋γ）Ａ/α^(n+2）　＋　β（α＋γ）Ｂ/β^(n+2）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋γ（α＋β）Ｃ/γ^(n+2）｝

＝a_（n-1）－｛（１－βγ）Ａ/α^(n+2）　＋　（１－αγ）Ｂ/β^(n+2）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋（１－αβ）Ｃ/γ^(n+2）｝

以下、αβ＋βγ＋γα＝1とαβγ＝１に注意して整理すれば、

結局

a_（n+3）＝a_（n+2）＋a_（n+１）＋a_n、、、、★★

が得られる。

マクローリンの定理より
 a_0＝f(0)＝０、a_１＝f’(0)＝０　a_2＝f’'(0)/2＝１

以下、★★に従って順に求めれば、

a_3＝１　a_４＝２　a_５＝４　a_６＝７　a_７＝13
a_８＝24　a_９＝44　　a_10＝81

規則性とその理由は、★★の式とその導出過程より明らかである。