質問＜３７７７＞２０１０／０３／０６
x^2-3x+m-1=0とx^2+(m-2)x-2=0が共通な実数解をただ1つもつとき，mの値とその共通解を求めよ。 という問いについて教えて下さい。 解答には共通解をαとおいてαとmの関係式を導いているのですが，これをそのままxで進めたらダメなのでしょうか。 ★希望★完全解答★
お便り２０１０／３／１０
from=wakky
x^2-3x+m-1=0と x^2+(m-2)x-2=0が ただひとつの共通する実数解を持つということは 二次関数 y=x^2-3x+m-1・・・（あ） と y=x^2+(m-2)x-2・・・（い） が、x軸上の共通なただひとつの点で交わることを意味します。 そこで xのまま進めてはだめか？についてですが xは、（あ）（い）においては あらゆる実数値を取る「変数」なのです 問題の解き方としては、xのまま進めても 同じ結果になりますが 「x軸上の共通なただひとつの点で交わったとき」 のxの値がただひとつの共通解なので あらゆる値を取る訳ではありません したがって 特定の解の値であるという意味において x=αとかx=aなどとしているのです。 そのような意味を理解しているかどうかが 解答の内容によって問われる場合もあるので きちんと「特定の解」であることを示すためには 「共通の解をx=αとすると・・・」 と書いた方がよろしいかと思います。 さて x^2-3x+m-1=0・・・① x^2+(m-2)x-2=0・・・② ①と②の共通する解を x=αとすると α^2-3α+m-1=0・・・③ α^2+(m-2)α-2=0・・・④ となります ④-③より (m+1)(α-1)=0 ∴m=-1またはα=1 m=-1のとき ①②はともに x^2-3x-2=0 となり また x^2-3x-2=0の判別式＞0なので 異なる二つの実数解をもつ すなわち ①②はふたつの共通する実数解を持つので 題意に反するので不適 α=1のとき すなわち、①②が 共通解x=1を持つとき m=3を得る 実際 m=3のとき ①は x^2-3x+2=0 (x-1)(x-2)=0 x=1またはx=2 ②は x^2+x-2=0 (x+2)(x-1)=0 x=-2またはx=1 以上から m=3,共通する解はx=1・・・（答）