質問＜３７４＞２０００／１２／６
from=智也
「行列」

武田先生こんにちは。
この前の質問ご解答ありがとうございます
極限の手計算タイプの問題はほぼ完璧になりました

それで今回は数学Cの行列でつまったところがあるので
おしえていただけないでしょうか。

[1997　弘前大学]
行列の問題は対角比によって解決されることが多い
対角比とは行列Aに対し逆行列を持つ行列Bをみつけ
{(B^-1)・AB}の(1.2)(2.1)成分を0にすることである

そのとき行列
 
  (a  b)
A=(c  d)

に対して方程式
x^2-(a＋d)x＋ad-bc=0の解は対角比と深くかかわっている
たとえば

  (4  -1)
A=(1   0)

を対角比化してみよう。このとき上記の方程式
x^2-4x＋1=0の解をα、β(α>β)とし
次の行列
  
  (x1)      (y1)      
X=(x2)    Y=(y2)

  (x1  y1)
B=(x2  y2)       を考える

(1)
AX=αX , AY=βY を満たすOでないX,Yをそれぞれ一つ
求めよ

(2)
　　　　　　　(α　０)
{(B^-1)・AB}＝(０　β)   を示せ

(3)

行列A^nの各成分をα、βの式であらわせ
ただしnは自然数

お返事２０００／１２／７
from=武田

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４　－１）
問題の意図をつかみかねるが、取りあえずＡ＝（１　　０）として、
以下の問に答える。

問１
ｘ2 －（４＋０）ｘ＋４・０－（－１）・１＝０
ｘ2 －４ｘ＋１＝０の解を求め、それをα、βとおくと、
｛α＝２＋√３
｛β＝２－√３

ＡＸ＝αＸより、
（４　－１）（ｘ1 ）＝（２＋√３）・（ｘ1 ）
（１　　０）（ｘ2 ）　　　　　　　　（ｘ2 ）

４ｘ1 －ｘ2 ＝（２＋√３）ｘ1 
ｘ1 ＝（２＋√３）ｘ2 

したがって、
Ｘ＝（ｘ1 ）＝（（２＋√３）ｘ2 ）＝（２＋√３）ｘ2 
　　（ｘ2 ）　（　　　　　　ｘ2 ）　（　　１　）

両辺にｘ2 ができるので、ｘ2 で割ると、Ｘとして０でない

行列Ｘ＝（２＋√３）ができる。｝
　　　　（　　１　）　　　　　｝
ＡＹ＝βＹも同様にやると、　　｝……（答）
行列Ｙ＝（２－√３）　　　　　｝
　　　　（　　１　）　　　　　｝

問２
上のＸとＹを組み合わせて行列Ｂを作ると、
行列Ｂ＝（Ｘ　Ｙ）＝（２＋√３　２－√３）
　　　　　　　　　　（　　１　　　　１　）

逆行列Ｂ-1を求めると、
ｄｅｔＢ＝（２＋√３）・１－（２－√３）・１＝２√３

　　　　１　（　　１　　－２＋√３）
Ｂ-1＝───（　　　　　　　　　　）
　　　２√３（　－１　　　２＋√３）
したがって、
　　　　　　１　（　　１　　－２＋√３）（４　－１）（２＋√３　２－√３）
Ｂ-1ＡＢ＝───（　　　　　　　　　　）（　　　　）（　　　　　　　　　）
　　　　　２√３（　－１　　　２＋√３）（１　　０）（　　１　　　　１　）

　　　　　　１　（　　１　　－２＋√３）（７＋４√３　７－４√３）
　　　　＝───（　　　　　　　　　　）（　　　　　　　　　　　）
　　　　　２√３（　－１　　　２＋√３）（　２＋√３　　２－√３）

　　　　　√３（６＋４√３　　　　０　　）
　　　　＝──（　　　　　　　　　　　　）
　　　　　　６（　　０　　　－６＋４√３）

　　　　　（２＋√３　　　０　　）　（α　　０）
　　　　＝（　　　　　　　　　　）＝（　　　　）　……（答）
　　　　　（　　０　　　２－√３）　（０　　β）

問３
（Ｂ-1ＡＢ）n ＝（Ｂ-1ＡＢ）（Ｂ-1ＡＢ）（Ｂ-1ＡＢ）……（Ｂ-1ＡＢ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ番目
　　　　　　　＝Ｂ-1Ａn Ｂ

（Ｂ-1ＡＢ）n ＝（α　　０）n ＝（αn 　　０）
　　　　　　　　（０　　β）　　（０　　βn ）

したがって、
Ａn ＝Ｂ（αn 　　０）Ｂ-1
　　　　（０　　βn ）

前に出てきた行列Ｂをα、βで表すと、
Ｂ＝（α　β）
　　（１　１）
よって、
　　　　１　（１　－β）
Ｂ-1＝───（　　　　）
　　　α－β（－１　α）

したがって、
（α－β）Ａn ＝（α　β）（αn 　　０）（１　－β）
　　　　　　　　（１　１）（０　　βn ）（－１　α）

　　　　　　　＝（α　β）（　αn 　－βαn ）
　　　　　　　　（１　１）（－βn 　　αβn ）

　　　　　　　＝（αn+1 －βn+1 　　－βαn+1 ＋αβn+1 ）
　　　　　　　　（　αn －βn 　　　　－βαn ＋αβn 　）

∴Ａn ＝（αn+1 －βn+1 　　　－βαn+1 ＋αβn+1 ）
　　　　（──────　　──────────）
　　　　（　α－β　　　　　　　α－β　　　　）
　　　　（　　　　　　　　　　　　　　　　　　）
　　　　（　αn －βn 　　　　－βαn ＋αβn 　）
　　　　（──────　　──────────）
　　　　（　α－β　　　　　　　α－β　　　　）……（答）