質問＜３７３９＞２００９／４／２７
from=数学高校生
「正多角形の面積と円周率」

東大の過去問で円周率の証明問題があって、おもしろそうだったので円周率の求め方について考えてみました。
半径1の円に内接する正n角形の面積は，n個の三角形に分けて考えると，
1/2n sin（2π/n)…①
半径1の円の面積はπであらわせるので，①のnの値を限りなく大きくすればπの値に近づく筈……
なんですがわかりません
まだ習ってないんですが，極限の考え方でわかりますか

★希望★完全解答★

お便り２００９／４／２８
from=BossF

まず、勘違いされて（または打ち間違い）ていますが

「半径1の円に内接する正n角形の面積Sは，n個の三角形に分けて考えると，S=1/2n sin（2π/n)」ではなく

S=n{(1/2)sin(2π/n)} ですよね

さて、この極限は、もうすぐ習う（と思われる）重要な極限の公式に

[θ→0 のとき　(sinθ)/θ→1]

というのがあるんですが、これを使えば、あっという間です

[解]
S=n{(1/2)sin(2π/n)} 
 =π{(n/2π)sin(2π/n)}
 =π{(sinθ)/θ} (ただし、θ=2π/n)

さて　n→∞ で θ→0 だから　S→π　■

なんですが、これは円周率の定義に関わっていまして、極限を求めたというかなんというか…（＾o＾）
詳しくはWikipediaの
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87
を参照してみてください