質問＜３７２＞２０００／１２／１
from=2年10組12番
「積分法」

昨日出された日々課題で分からない所がありましたので
質問させていただきます。宜しくお願いします。

放物線ｙ＝ｘ2 －２ｐｘ上の点（ｔ，ｔ2 －２ｐｔ）
における接線をｙ軸方向にｂだけ平行移動した直線を
L（ｔ,ｂ）とする。

(1）直線L(t,ｂ）の方程式を求めよ。
(2）この放物線と直線L（t，b）とが、異なる2点で交わるための
　　t，bの範囲を求めよ。
(3）放物線と直線L(t，b）とが異なる2点で交わるとき、　　これらが囲む図形の面積Ｓを求めよ。
(4）（3）の図形の面積を直線ｘ＝ｕで2等分したい。
　　ｕを求めよ。

お返事２０００／１２／２
from=武田

問１

微分して、ｆ′（ｘ）＝２ｘ－２ｐ
点Ｐ（ｔ，ｔ2 －２ｐｔ）における接線の方程式は
ｙ－（ｔ2 －２ｐｔ）＝（２ｔ－２ｐ）（ｘ－ｔ）
この接線をｙ軸方向にｂだけ平行移動すると、直線Ｌ（ｔ，ｂ）ができます。
この方程式は
ｙ＝（２ｔ－２ｐ）（ｘ－ｔ）＋（ｔ2 －２ｐｔ）＋ｂ……（答）

問２
上の直線Ｌ（ｔ、ｂ）と放物線ｙ＝ｘ2 －２ｐｘとの交点が２つあるのは、
連立して
｛ｙ＝（２ｔ－２ｐ）（ｘ－ｔ）＋（ｔ2 －２ｐｔ）＋ｂ……①
｛ｙ＝ｘ2 －２ｐｘ……②
（２ｔ－２ｐ）（ｘ－ｔ）＋（ｔ2 －２ｐｔ）＋ｂ＝ｘ2 －２ｐｘ
ｘ2 －２ｔｘ＋ｔ2 －ｂ＝０
判別式Ｄ／４＞０より、
（－ｔ）2 －（ｔ2 －ｂ）＞０∴ｂ＞０……（答）

問３方程式ｘ2 －２ｔｘ＋ｔ2 －ｂ＝０を解く。
∴ｘ＝ｔ±√ｂ
したがって、
　　ｔ＋√ｂ
Ｓ＝∫　　｛－（ｘ2 －２ｔｘ＋ｔ2 －ｂ）｝ｄｘ
　　ｔ－√ｂ

　　　　ｘ3 　　　　　　　　　　　　ｔ＋√ｂ
　＝［－─　＋ｔｘ2 －（ｔ2 －ｂ）ｘ］
　　　　３　　　　　　　　　　　　　ｔ－√ｂ

　　　　　　４
　＝（略）＝─ｂ√ｂ　……（答）
　　　　　　３

問４
４　　　　　　ｔ＋√ｂ
─ｂ√ｂ＝２・∫　｛－（ｘ2 －２ｔｘ＋ｔ2 －ｂ）｝ｄｘ
３　　　　　　ｕ

（途中略）

ｕ3 －３ｔｕ2 －３（ｔ2 －ｂ）ｕ＋（５ｔ3 ＋６√ｂｔ2 －３ｂｔ－６ｂ√ｂ）＝０
このｕについての３次方程式は解けるのかな？
ｕ＝λ＋ｔとおくと、
（途中略）
λ3 －（６ｔ2 －３ｂ）λ＋（６ｔ2 √ｂ－６ｂ√ｂ）＝０
さて、これ以上は解けない。λが出れば、ｕも出るのだが……？！

※質問された本人より、下記に解答が寄せられました。

お便り２０００／１２／９
from=2年10組12番

2年10組12番です。解答がきましたのでお知らせしたいと思います。
 
（１）ｙ’＝２ｘ－２ｐであるから
L（ｔ、ｂ）：ｙ－（ｔ2 －２ｐｔ）＝（２ｔ－２ｐ）（ｘ－ｔ）＋ｂ
すなわちｙ＝２（ｔ－ｐ）ｘ－ｔ2 ＋ｂ　・・・（答）
 
（2）ｘ2 －２ｐｔ＝２（ｔ－ｐ）ｘ－ｔ2 ＋ｂとすると
　　　ｘ2 －２tx＋ｔ2 －ｂ＝０・・・・・・①
ｆ（ｘ）＝ｘ2 －２ｔｘ＋ｔ2 －ｂとおくと
　　　　ｆ（ｘ）＝（ｘ－ｔ）2 －ｂ
よって、ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフについて、
ｆ（０）＞０，t＞０，－ｂ＜０であればよい。
ゆえに、ｔ＞０かつ０＜ｂ＜ｔ2 ・・・（答）
 
（３）放物線と直線L（ｔ、ｂ）が異なる2点で交わるとき、
　　（２）からｆ（ｘ）＝－ｂ＜０
ゆえに　ｂ＞０　　　このとき
①の解はｘ＝ｔ±√ｂであるから
　　　　ｔ＋√ｂ　　　　　　
Ｓ＝∫　　　　　｛２（ｔ－ｐ）ｘ－ｔ2 ＋ｂ－（ｘ2 －２ｐｔ）｝ｄｘ
　　　　ｔ－√ｂ
　　　　　　　　　　　　　　　・　
　　　　　　　　　　　　　　　・　　
　　　　　　　　　　　　　　　・　　
　　　　　　　　　　　　　　　・
　＝　４ｂ√ｂ／３　・・・（答）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｔ＋√ｂ
（4）　（１）、（３）からＳ＝－∫　　　　　｛（ｘ－ｔ）2 －ｂ｝ｄｘ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｔ－√ｂ
放物線ｙ＝ｆ（ｘ）＝（ｘ－ｔ）2 －ｂは直線ｘ＝ｔ　に対称であるから、
　　　　　ｔ　　　　　　　　　　　　　　ｔ＋√ｂ
　－∫　　　　　　ｆ（ｘ）ｄｘ＝－∫　　　　　　ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｓ／２　　
　　　　　ｔ－√ｂ　　　　　　　　　　ｔ
　よって、ｕ＝ｔ　・・・・（答）

（※最後の（４）は完全平方式にしてみればｘ＝ｔで面積が２分割され
　　ることが直ぐ分かるわけですね。(;＞_＜;)ビェェン、武田）