質問＜３６９３＞２００８／３／１３
from=ヒロ
「整数・整式」

 x^2 をで割ると x-1 余り， (x+1)^2 で割ると x 余る整式のうちで，
　次数が最も低い整式は【　ア　】次式で，この整式の最高次の係数は【　イ　】，
　x の係数は【　ウ　】，定数項は【　エ　】である。
　あてはまる答えは
　【　ア　】＝3
　【　イ　】＝2
　【　ウ　】＝1
　【　エ　】＝-1
　です。
“次数が最も低い”という感覚はつかめても決定的な理由が思い当たりません。
また，整式をP(x)としてもP(0)＝-1より定数項しか見つかりません。
剰余の定理の応用の仕方をお教下さい。

★希望★完全解答★

お便り２００８／３／１５
from=phaos

求める式を Ｐ（ｘ） と置くと，
Ｐ（ｘ） ＝ ｘ＾２ Ｑ＿１（ｘ） ＋ ｘ － １

　　　　 ＝ （ｘ ＋ １）＾２ Ｑ＿２（ｘ） ＋ ｘ

と置くことが出来る。
従って
ｘ＾２ Ｑ＿１（ｘ） － １ ＝ （ｘ ＋ １）＾２ Ｑ＿２（ｘ）．

Ｑ＿１， Ｑ＿２ が定数だとすると， 
（共に ０ のときは定数項が一致しないので， ０ でないとすると）
左辺は ｘ の一次の項がなく， 右辺にはあるので， 矛盾。

従って， Ｑ＿１， Ｑ＿２ は少なくとも一次式である。
今， Ｑ＿１（ｘ） ＝ ａｘ ＋ ｂ， Ｑ＿２（ｘ） ＝ ｃｘ ＋ ｄ と置く。
代入して
ｘ＾２（ａｘ ＋ ｂ） － １ ＝ （ｘ ＋ １）＾２（ｃｘ ＋ ｄ）

ａｘ＾３ ＋ ｂｘ＾２ － １ ＝ ｃｘ＾３ ＋ （２ｃ ＋ ｄ）ｘ＾２ ＋ （ｃ ＋ ２ｄ）ｘ ＋ ｄ

従って
ａ ＝ ｃ，
ｂ ＝ ２ｃ ＋ ｄ，
ｃ ＋ ２ｄ ＝ ０，
ｄ ＝ －１．

これは解けて， ａ ＝ ｃ ＝ ２， ｂ ＝ ３， ｄ ＝ －１ となる。

このとき Ｐ（ｘ） ＝ ２ｘ＾３ ＋ ３ｘ＾２ ＋ ｘ － １ となって， 題意を満たす。

（以下略）

そういうわけなので， 別に剰余の定理の問題ではありません。
言ってみれば除法定理の問題です。