質問

次の極限値が出せません。
　　lim[x→0] (x-tanx)/x(1-cosx)

★希望★完全解答★

お便り２００７／１２／１５
from=亀田馬志

高校数学の窓LaTeX版を参照して下さい。

お返事２００７／１２／１６
from=武田

　　（ｘ－ｔａｎｘ）
ｙ＝―――――――――
　　ｘ（１－ｃｏｓｘ）

を、Keisuke.Wadaさんのフリーソフト「functionview」を利用してグラフを描くと、



となり、ｘ→０のｙの値を求めようと拡大すると、
大変なことになりました。
つまり、ｘ＝０のところでグラフが断絶されているらしいのです。
その前後の近似値は、「約－０．６６７」らしいです。
その拡大したグラフを載せますと、次のようになります。
したがって、これは亀田さん紹介のソフトなどを使わないと求められないようです。
（推測ですが、－２／３かも？）

お便り２００７／１２／１６
from=こう

昨日の極限値の問題
　　lim[x→0] (x-tanx)/x(1-cosx)
　についてお返事を頂きましたが、参照のページを見てもよく意味が分かりません。
　指定されたソフトをダウンロードして、値を入力して答えを出せ、ということなのでしょうか？
　途中の式も知りたいので、そうした解説がいただきたいのですが。
　色々とわがままを言って申し訳ありません。

お便り２００７／１２／１７
from=亀田馬志

ＭＡＸＩＭＡの紹介は
高校数学の窓LaTeX版を参照して下さい。

描画ソフトfunctionviewなんですが、恐らくどっかにバグがありますね。
Maxima付属の描画ソフト、GNUPlotで提示グラフと同様の範囲で描画して見てみましたが、
特に「x=0辺りで断絶している」ようには見受けられません。
恐らく、何らかのバグがあると思います。作者に報告した方が良いかもしれません。

お便り２００７／１２／１７
from=こう

　亀田様、武田様、ありがとうございました。
Maximaをダウンロードして使ってみたところ、確かに-2/3になりました。
　ですが、このようにソフトで正確な値が出せるわけですから、
自分で計算して出すことも可能なのでは、という気もします。
どなたかその計算方法が分かる方がおられたら、教えて頂けたらと思います。

お便り２００７／１２／１７
from=平　昭

こんにちは。
意地悪くいうと、これは質問ではないですね。
「極限値が出せません」
「ふーん、それで？」
解答終わり、ってなもんです。

　さて、書かれた式の極限ですが「マクローリン展開」や
「ロピタルの定理」を知っている人には難しくありません。
ただ、これらは多分、大学初年級で習うことだと思います。
これらを使わず、式変形だけでうまく極限を求める方法は
思いつきませんでした。

ｘ→０の時　(x-tanx)/x^3　→　-1/3

を式変形で示すうまい方法があればいいのですけれど。

以下は、知っている人向けの略解です

　(x-tanx)は、マクローリン展開すると　（-ｘ^3/3）＋５次以上の項
　(1-cosx)はマクローリン展開すると　(x^2/2)＋４次以上の項

　となるので、

ｘ→０の時
与式の分子→　-ｘ^3/3
与式の分母→　x(x^2/2)
で、結局

与式→-2/3

となります。
あるいは、同じ事ですが、
ロピタルの定理を３回繰り返して使ってもできますね。

お便り２００７／１２／１８
from=亀田馬志

高校数学の窓LaTeX版に追加補足があります。

お便り２００７／１２／２６
from=和田

（※数学グラフ描画ソフト「functionView」の作者の和田さんから返事が届きました。）

ｆｕｎｃｔｉｏｎＶｉｅｗの不具合ですが
関数（x-tanx)/ｘ（１－cosｘ）　は　ｘ＝０　では定義されず不連続になることは
ご理解いただけると思います。
漸近線の判断に甘さがあり，不必要な線を延長して描いていたことが判明いたしました。 

修正は次期バージョンでしたいと思います。

所詮，連続体の濃度の値に対して定義されている関数を有限個の点で判断して
グラフを描いているのですから，どんなソフトで描いても正確さには限界があります。
その点をご理解いただければと思います。

また，他の不具合を発見されたら教えていただければ有り難いです。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　和田