質問＜３６３０＞２００７／１１／５
from=ママ
「式の値を求める問題」

　A：ｘ＾3=1のとき、１/（１＋ｘ）＋１/（１＋ｘ＾2）の値の求め方を
　　　教えてください。
　B：ｘ＾3－３aｘ＾2＋ｂｘ－３a＝０の解が連続する３つの自然数であ
　　　るとき、a、bの値および解の求め方を教えてください。

★希望★完全解答★

お返事２００７／１１／５
from=武田

　　　　　　　　　　　　－１±√（３）ｉ
（Ａ）ｘ^3＝１の解は１，――――――――　である。
　　　　　　　　　　　　　　　２

　　　－１＋√（３）ｉ　　　　　　　　　　－１－√（３）ｉ
　　　――――――――　＝ω　とすると、―――――――――＝ω^2
　　　　　　２　　　　　　　　　　　　　　　　　２

　　　となるから、一般にｘ^3＝１の解は、１，ω，ω^2と書くことが多い。
　　　そしてそれは、１＋ω＋ω^2＝０となる。また、ω^3＝１より、

　　　ｘ＝１のとき、
　　　　１　　　１　　　１　１
　　　―――＋――――＝―＋―＝１
　　　１＋ｘ　１＋ｘ^2　２　２

　　　ｘ＝ωのとき、
　　　　１　　　１　　　　１　　　　１　　　１　　　１
　　　―――＋――――＝―――＋――――＝―――＋――
　　　１＋ｘ　１＋ｘ^2　１＋ω　１＋ω^2　－ω^2　－ω

　　　　　－ω－ω^2　－（ω＋ω^2）
　　　＝――――――＝―――――――＝－（－１）＝１
　　　　　　　ω^3　　　　　１

　　　ｘ＝ω^2のとき、
　　　　１　　　１　　　　　１　　　　１　　　１　　　　１
　　　―――＋――――＝――――＋――――＝――＋――――――
　　　１＋ｘ　１＋ｘ^2　１＋ω^2　１＋ω^4　－ω　１＋ω^3・ω

　　　　　１　　１　　　１　　１　　－ω^2－ω　－（ω^2＋ω）
　　　＝――＋―――＝――＋―――＝―――――＝―――――――
　　　　－ω　１＋ω　－ω　－ω^2　　　ω^3　　　　　１

　　　＝－（－１）＝１

　　　全ての場合に与式は１となる。

（Ｂ）ａ，ｂ，ｃが解となる３次方程式は、
　　　（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）（ｘ－ｃ）＝０
　　　ｘ^3－（ａ＋ｂ＋ｃ）ｘ^2＋（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）ｘ－ａｂｃ＝０
　　　となるから、

　　　連続する３つの自然数を（ｎ－１），ｎ，（ｎ＋１）とすると、
　　　（ｎ－１）＋ｎ＋（ｎ＋１）＝３ｎ
　　　（ｎ－１）ｎ＋ｎ（ｎ＋１）＋（ｎ＋１）（ｎ－１）＝３ｎ^2－１
　　　（ｎ－１）ｎ（ｎ＋１）＝ｎ^3－ｎ

　　　与式が　ｘ＾3－３aｘ＾2＋ｂｘ－３a＝０　より、
　　　３ｎ＝３ａ　∴ｎ＝ａ
　　　３ｎ^2－１＝ｂ　より、ｂ＝３ａ^2－１………①
　　　ｎ^3－ｎ＝３ａ　より、ａ^3－ａ＝３ａ………②

　　　②の３次方程式を解くと、
　　　ａ^3－４ａ＝０
　　　ａ（ａ^2－４）＝０
　　　∴ａ＝０，±２

　　　ａ＝０のとき、①より、ｂ＝－１
　　　ｎ＝ａ＝０より、連続する３つの自然数は存在しない。

　　　ａ＝２のとき、①より、ｂ＝１１
　　　ｎ＝ａ＝２より、連続する３つの自然数は１，２，３

　　　ａ＝－２のとき、①より、ｂ＝１１
　　　ｎ＝ａ＝－２より、連続する３つの自然数は存在しない。

　　　したがって、
　　　　　ａ＝２，ｂ＝１１，３つの解は１，２，３