質問＜３５６３＞２００７／６／１９
from=カノン
「三角関数」

①ｙ＝ｓｉｎｘは（－∞、∞）で連続であることを示せ。
②ｙ＝ｓｉｎｘは（－∞、∞）で微分可能であることを示せ。
教えて下さい。

★希望★完全解答★

お便り２００７／６／２１
from=hugen

①ｙ＝ｓｉｎｘは（－∞、∞）で連続であることを示す。

ｘｙ平面上で、２点 A (cosx,sinx) , P (cos(x＋h),sin(x＋h)） は   単位円上にある。
　
|sinx(x＋h)-sinx|≦√{|cos(x＋h)-cosx|^2＋|sinx(x＋h)-sinx|^2}
　　　　　　　　　＝AP＜|h| → 0　( h → 0 ) 
 
②ｙ＝ｓｉｎｘは（－∞、∞）で微分可能であることを示す。
   
ｘｙ平面上で、２点 A (cosx,sinx) , P (cos(x＋h),sin(x＋h)） は単位円上にある。

AP はベクトルとし、lim[h→0](1/h)AP　　を考察する。

(1/h)AP　の向きは、ベクトルOA の向きを左に９０度回転した向きに近づき
|(1/h)AP|＝|AP|/h　→　1　　( h → 0 ) 　　　なので
(1/h)[ベクトル]AP　→　(cos(x＋90°),sin(x＋90°))　　( h → 0 ) 
(1/h)AP＝({cos(x＋h)-cosx}/h , {sin(x＋h)-sinx}/h）　だから
{sin(x＋h)-sinx}/h　→　sin(x＋90°)　　　( h → 0 )
　つまり、sin は微分可能で　　　　
 (sinx) '＝sin(x＋90°)