質問＜３５０８＞２００７／２／９
from=リッツ
「整数」

自然数 a,b,c,dが　a＾2+b^2+c＾2＝d＾2　を満たしている。
このときa,b,cのうち偶数が少なくとも２つあることを示せ。

完全解答希望です。よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００７／２／１９
from=UnderBird

まず、　「自然数nが奇数」と「n^2が奇数」は同値
また、対偶をとれば、「自然数nが偶数」と「n^2が偶数」は同値であることを用いる

①自然数 a,b,cが3つとも奇数の場合

　奇数^2＋奇数^2＋奇数^2＝奇数より d^2は奇数であり、dは奇数でなくてはいけな
い。
　そこで、a=2A-1,b=2B-1,c=2C-1,d=2D-1 （A,B,C,Dは自然数）とおくと
　a^2+b^2+c^2=d^2 に代入してまとめると
　2(A^2-A+B^2-B+C^2-C)+1=2(D^2-D)
  これは、左辺が奇数で右辺が偶数を表すので、矛盾。よって、3つとも奇数の場合
は起こらない。

②自然数 a,b,cのうち2つが奇数で1つが偶数の場合 

　 偶数^2＋奇数^2＋奇数^2＝偶数より d^2は偶数であり、dは偶数でなくてはいけな
い。 
　 そこで、a=2A,b=2B-1,c=2C-1,d=2D　 （A,B,C,Dは自然数）とおくと 
　 a^2+b^2+c^2=d^2 に代入してまとめると 
　 2(A^2+B^2-B+C^2-C)+1=2D^2
  　これは、左辺が奇数で右辺が偶数を表すので、矛盾。よって、この場合も起こら
ない。

①②より
　　a,b,cのうち偶数が少なくとも２つある といえる。

ちょっと不安ですが・・・。いかがでしょう