質問

質問＜３４９＞２０００／１０／３０
from=文系学生
「分母、ルートのある方程式」

武田先生、失礼します。先日は増減表について、とても丁寧に詳しく教
えてくださいまして本当にありがとうございました。先生のおかげでと
てもよく理解できました。

ところで、以下の方程式を解けという問題があるのですが、
①　　{2／(ｘ－1)}－{ｘ／(ｘ＋1)}＝{4／([ｘ2乗]－1)}
②　　{ｘ－√(25－[ｘ2乗])}＝1
このような分母を払う変形や、ルートを取り去る変形をする方程式一般
では、変形が完全に同値の変形ではなく式の性質を変えてしまうために、
後から解の確認をする必要が出てくるそうですが、これはどこで式の性
質を変えてしまっているということがわかるのですか？

お返事２０００／１０／３１
from=武田

問１
　２　　　ｘ　　　４
───－───＝────　……①
ｘ－１　ｘ＋１　ｘ²－１
この段階の条件は、分母を０としないことから
∴ｘ≠±１
次に変形して、①×（ｘ²－１）とすると、
ｘ≠±１と言う条件が外れてしまう。
２（ｘ＋１）－ｘ（ｘ－１）＝４
２ｘ＋２－ｘ²＋ｘ－４＝０
ｘ²－３ｘ＋２＝０
（ｘ－１）（ｘ－２）＝０
∴ｘ＝１，２
答えは、最初の条件を考えて、ｘ＝１を除外しなければいけない。
∴ｘ＝２　……（答）

問２
ｘ－√（２５－ｘ²）＝１
ｘ－１＝√（２５－ｘ²）　……②
平方根の前の符号は＋なので、左辺＞０より、ｘ－１＞０∴ｘ＞１
平方根の中は＋なので、（２５－ｘ²）＞０∴－５＜ｘ＜５
この２つの条件の共通部分は、１＜ｘ＜５←これが最初の条件となる。
次に変形して、②の両辺を２乗する。
（ｘ－１）²＝（２５－ｘ²）
ｘ²－２ｘ＋１－２５＋ｘ²＝０
２ｘ²－２ｘ－２４＝０
ｘ²－ｘ－１２＝０
（ｘ－４）（ｘ＋３）＝０
∴ｘ＝４，－３
答えは、最初の条件を考えて、ｘ＝－３を除外しなければいけない。
∴ｘ＝４　……（答）

お便り２０００／１１／１
from=文系学生

武田先生、失礼します。349の質問に回答くださいまして、本当にありが
とうございました。もう少しわからないところがありますので、教えて
いただけますと幸いです。

問１
ｘ－１＝√（２５－ｘ² ）　……②
平方根の前の符号は＋なので、左辺＞０より、
ｘ－１＞０∴ｘ＞１
もしルートの中がマイナスでも、平方根の前が＋なら、
右辺は＋であるのですか？

問２
平方根の中は＋なので、
（２５－ｘ² ）＞０∴－５＜ｘ＜５
ルートの中がマイナスになることは考えないのですか？
問３
この２つの条件の共通部分は、
１＜ｘ＜５←これが最初の条件となる。
なぜ、ｘ＞１と、－５＜ｘ＜５の両方が条件にならずに、
共通部分が条件になるのですか？
たとえばｘが－６だとすると、平方根の中がマイナスになってしまわな
いのですか？

お返事２０００／１１／１
from=武田

問１
√の中がマイナスだと、複素数になり、大小関係が無くなるので、
右辺が＋ではなくなってしまいます。
√（２５－ｘ² ）の中の（２５－ｘ² ）＜０ならば、
√（２５－ｘ² ）＝ｉ√（ｘ²－２５ ）

問２
複素数になる場合は普通は考えません。もし考えると、
２５－ｘ²＜０より、－（ｘ²－２５）＜０
√（２５－ｘ²）＝ｉ√（ｘ²－２５）
ｘ－１＝ｉ√（ｘ²－２５）
両辺を２乗して
（ｘ－１）²＝ｉ²（ｘ²－２５）
ｘ²－２ｘ＋１＝－１（ｘ²－２５）
ｘ²－２ｘ＋１＋ｘ²－２５＝０
２ｘ²－２ｘ－２４＝０
ｘ²－ｘ－１２＝０
（ｘ－４）（ｘ＋３）＝０
ｘ＝４，－３
この答え両方とも、２５－ｘ²＜０より、不適。

問３
２つの範囲ｘ＞１と－５＜ｘ＜５が共通部分でないとすると、
「ｘ＞１、または－５＜ｘ＜５」だと、
例えば、ｘ＝８やｘ＝－１も範囲内に入ることになるが、
ｘ－１＝√（２５－ｘ² ）　……②
ｘ＝８は、左辺＝プラス，右辺＝複素数
ｘ＝－１は、左辺＝マイナス，右辺＝プラス
となって不合理です。
範囲外のｘ＝－６も同様です。左辺＝マイナス，右辺＝複素数
共通部分「ｘ＞１、かつ－５＜ｘ＜５」ならば、「１＜ｘ＜５」
となり、左辺＝プラス，右辺＝プラス