質問＜３４７１＞２００６／１１／２６
from=ヒロ
「高次方程式」

はじめまして、まったく解けなくて悩んでます。 

　x^6+2x^5-38x^4-228x^2+72x-216=0  を解け。
　　　
　　(ヒント: z=x-6/x　とおくとよい) 

　　回答、解説をよろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／１１／２９
from=wakky

ｘ^2の係数は　－２２８　ではなく　＋２２８　の誤りと思われます。

ｘ^6＋２ｘ^5－３８ｘ^4＋２２８ｘ^2＋７２ｘ－２１６＝０・・・①
ｘ＝０は①の解ではないので、ｘ≠０
①の両辺をｘ^3で割って整理すると
ｘ^3－（２１６／ｘ^3）＋２｛ｘ^2＋（３６／ｘ^2）｝－３８｛ｘ－（６／ｘ）｝＝０ 

ｚ＝ｘ－（６／ｘ）とおくと
ｘ^3－（２１６／ｘ^3）＝｛ｘ－（６／ｘ）｝｛ｘ^2＋６＋（３６／ｘ^2）｝
　　　　　　　　　　　 ＝｛ｘ－（６／ｘ）｝〔｛ｘ－（６／ｘ）｝^2＋１８〕
　　　　　　　　　　　 ＝ｚ^3＋１８ｚ
ｘ^2＋（３６／ｘ^2）＝｛ｘ－（６／ｘ）｝^2＋１２＝ｚ^2＋１２
∴ｚ^3＋２ｚ^2－２０ｚ＋２４ｚ＝０
（ｚ＋６）（ｚ－２）^2＝０
ｚ＝－６，２（重解）
ｘ－（６／ｘ）＝－６から　ｘ^2＋６ｘ－６＝０・・・②
ｘ－（６／ｘ）＝２から　ｘ^2－２ｘ－６＝０・・・③
②③より
ｘ＝－３±√１５，１±√７（複合はともに重解）・・・（答）

お便り２００６／１１／３０
from=主夫

ひょっとして問題文に誤りはありませんか？
x^6+2x^5-38x^4-228x^2+72x-216=0
ではなく，
x^6+2x^5-38x^4+228x^2+72x-216=0
の誤りだとして勝手にやってみます．（間違ってたらごめんなさい）

x=0はこの解にはならないので，与式をx^3で割ると，
x^3+2x^2-38x+228/x+72/(x^2)-216/(x^3)=0
こうするとヒントの形がピンとくるはずです．
特に-216/(x^3)=(-6/x)^3なので，zを代入できる形に変形していきます．
まずは並べ替えて，
x^3-216/(x^3)+2{x^2+36/(x^2)}-38x+228/x=0
(x-6/x)^3+18x-108/x+2{(x-6/x)^2+12}-38x+228/x=0
(x-6/x)^3+2(x-6/x)^2+24-20x+120/x=0
(x-6/x)^3+2(x-6/x)^2+24-20(x-6/x)=0
これでようやくz=x-6/xを代入できる形になりました．
z^3+2z^2-20z+24=0
因数定理を用いて，
(z+6)(z-2)^2=0
∴z=2,-6
ⅰ) x-6/x=2　のとき
両辺をx倍して整理すると，
x^2-2x-6=0
x=1±√7
ⅱ) x-6/x=-6 のとき，
両辺をx倍して整理すると，
x^2+6x-6=0
x=-3±√15