質問＜３４１７＞２００６／９／２９
from=リッツ
「漸化式」

次の条件を満たす数列｛a_n｝，｛b_n｝がある。

 a_（n+1）=a_n^2＋3b_n^2
 b_（n+1）=2a_n^2＋b_n^2
 a_0＝1　
 b_0＝2

このとき、a_n ， b_nを４で割った余りを求めよ。

★完全解答希望★

お便り２００６／９／３０
from=wakky

与えられた漸化式に従って計算すると
a(1)=13で4で割った余りは1
b(1)=6で4で割った余りは2
a(2)=277で、やはり余りは1
b(2)=374で、やはり余りは2
どうやら
a(n)を4で割った余りは1
b(n)を4で割った余りは2
になりそうです。
これを数学的帰納法で証明すればＯＫですね。

n=0,1,2の時は
a(n)を4で割った余りは1
b(n)を4で割った余りは2
であることは、上で分りました。
(n=0の時だけ言えば十分ですけど）

n=kのとき成り立つと仮定すると
a(k)=4N+1
b(k)=4M+2 　N，Mは整数
（実際は、N,Mは漸化式から帰納的に自然数）
とおくことができます。
これを与えられた漸化式に代入すると
a(k+1),b(k+1)についても成り立つことは容易に分ります。

是非確かめてください。