質問＜３３９９＞２００６／９／１９
from=ayaka
「極限値」

極限値のと、その求め方を教えてください。

①　lim x→∞　sinx/x 

②　lim x→∞　(cosxー1）/x＾2

x→∞なので、わけがわからなくなってしまいました。
よろしくお願いいたします。

★完全解答希望★

お便り２００６／９／２４
from=下野哲史

①　lim x→∞　sinx/x 

-1≦sin x≦1 より
x＞0 では -1/x≦sin x/x≦1/x
ここで lim(x→∞) -1/x=0 , lim(x→∞) 1/x =0
であるから、lim(x→∞) sin x/x=0

②　lim x→∞　(cosxー1）/x＾2

cos x-1/x^2
={1-2sin^2(x/2)-1}/x^2
=2sin^2(x/2)/x^2
={sin(x/2)/(x/2)}^2
x→∞ ならば x/2→∞ であるから ①より
lim(x→∞)　(cosxー1）/x＾2=0^2=0

お便り２００６／９／２４
from=wakky

感覚的には
sinx は-1と1の間を動くので
x→∞のときsinx/x→0であると
容易に分ると思います。
しかし、これでは解答にならないので
①
|sinx|≦1より
|sinx/x|≦|1/x|→0　(x→∞)
②
半角の公式を利用します。
sin^2(x/2)=(1-cosx)/2より
(cosx-1)/x^2=(-1/2){sin(x/2)/(x/2)}^2→0　(①より)