質問＜３３８８＞２００６／９／１７
from=まーや
「3次方程式」

3次方程式x^3-3*a*x^2+b*x-3a＝0の解が連続する3つの自然数であるとき、
a,bの値、及び解を求めよ。
以上の問題について答えの過程を詳しく教えて下さい。

★完全解答希望★

お便り２００６／９／１９
from=KINO

ある自然数 k(≧2) を用いて解が k-1, k, k+1 と表せると仮定する。
解と係数の関係より，
3a=3k,
b=(k-1)k+k(k+1)+(k-1)(k+1),
(k-1)k(k+1)=3a.
第1式と第2式より 3k(k-2)(k+2)=0. k≧2 より k=2.
よって解は 1, 2, 3 であり，a=2, b=2+2*3+1*3=11.

お便り２００６／９／１９
from=UnderBird

３次方程式の解と係数の関係の公式を使う
３次方程式ax^3+bx^2+cx+d=0の解をα,β,γとすると
α+β+γ=-b/a , αβ+βγ+γα=c/a , αβγ=-d/a
が成り立つ。

よって、3次方程式x^3-3*a*x^2+b*x-3a＝0の解を
連続する3つの自然数(n-1),n,(n+1)とすると、
 (n-1)+n+(n+1)=3a
 (n-1)n+n(n+1)+(n-1)(n+1)=b
 (n-1)n(n+1)=3a
で、第1式よりn=aを第3式に代入すれば
n^3-4n=0
n(n+2)(n-2)=0でnは自然数だから、n=2
よって、a=2, b=11

お便り２００６／９／２０
from=wakky

３つの解が連続する自然数だから
ｎ≧２として、３つの解を
ｎ－１，ｎ，ｎ＋１　とする。
三次方程式の解と係数の関係から
（ｎ－１）＋ｎ＋（ｎ＋１）＝３ｎ＝３ａ・・・①
（ｎ－１）ｎ＋ｎ（ｎ＋１）＋（ｎ＋１）（ｎ－１）
　　　　　　　　　　　＝３ｎ^2－１＝ｂ・・・②
（ｎ－１）ｎ（ｎ＋１）＝ｎ^3－ｎ＝３ａ・・・③　
①と③より
ａ＝０のときｎ＝０となって不適（∵ｎ≧２）
したがってａ≠０
このとき①③より
ｎ^3－４ｎ＝０
これを解くと
ｎ＝－２，０，２
ｎ≧２より　ｎ＝２
従って①②より　ａ＝２，ｂ＝１１・・・（答）
３つの解は、１，２，３・・・（答）

お便り２００６／９／２０
from=主夫

3次方程式x^3-3*a*x^2+b*x-3a＝0の解が連続する3つの自然数であるとき、
a,bの値、及び解を求めよ。

求める解の一つをnとおけば，他の解は(n+1),(n+2)とおける。(nは自然数)
解と係数の関係より，
n+(n+1)+(n+2)=3a            …①
n(n+1)+(n+1)(n+2)+n(n+2)=b　…②
n(n+1)(n+2)=3a　　　　　　　…③

①,②からaを消去して
n+(n+1)+(n+2)=n(n+1)(n+2)
3(n+1)=n(n+1)(n+2)
(n+1){n(n+2)-3}=0
(n+1)(n+3)(n-1)=0
nは自然数だから，n=1

以上より，
a=2,b=11，解はx=1,2,3