質問＜３３７９＞２００６／９／１２
from=ぷーさん
「自然数」

次の答え方を教えて下さい。
（１）ｎは任意の自然数とする。
　①ｎ*（ｎ+1）*（ｎ+2）は6の倍数であることを示せ。
　②（2ｎ+1）＾3-（2ｎ+1）は24の倍数であることを示せ。

★完全解答希望★

お便り２００６／９／１５
from=UnderBird

①
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,･･･において、
2の倍数は2,4,6,8,10,･･･と2個おきに出てきますし、
3の倍数は3,6,9,1･･･と3個おきに出てきます。
　さて、n(n+1)(n+2)というのは、連続する3つの自然数の積ですから、
先ほどの理由で3つの自然数のどれかは3の倍数ですし、
3つの自然数の中に少なくとも1つは2の倍数があります
（正確に言うと2つある場合と1つしかない場合がありますが、
とにかく2の倍数が1つあれば十分です）。
よって6の倍数である。というのが楽でしょう。
厳密に証明するならn=6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k+4,6k+5(k=0,1,2,3,･･･)の場合に分ければよい。

②
(2n+1)^3-(2n+1)=(2n+1){(2n+1)^2-1}
               =(2n+1){(2n+1)-1}{(2n+1)+1}
               =(2n+1)(2n)(2n+2)
               =4(2n+1)n(n+1)
               =4{(n-1)+(n+2)}n(n+1)
               =4{(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)}
と変形すると、(n-1)n(n+1)もn(n+1)(n+2)も連続する３つの整数の積ですから、
ともに①の結果より6の倍数です。そして6の倍数同士の差も6の倍数ですから、
結局(2n+1)^3-(2n+1)は24の倍数であるといえる。