質問＜３３５８＞２００６／９／２
from=acty
「三次方程式」

p,qを定数とし、f(x)=x^3+(p+1)x^2+(p+q)x+qとおく。
pとqは異なっていて、pとqはともに三次方程式f(x)=0の解であるとき、
このようなpとqの組をすべて求めよ。

★完全解答希望★

お便り２００６／９／４
from=KINO

f(x) に x=p, q を代入して整理すると因数分解できます：
f(p)=(p+1)(2p^2+q),
f(q)=q(q+1)(q+p+1).

f(q)=0 より，q=0, -1, -p-1 の3つの場合に分けて考えます。

(i) q=0 のとき，f(p)=0 に代入して 2p^2(p+1)=0.
これより p=0, -1 ですが，p≠q, q=0 より p=-1.

(ii) q=-1 のとき，f(p)=0 に代入すると (p+1)(2p^2-1)=0.
これより p=-1, ±1/√2 ですが，p≠-1=q より p=±1/√2.

(iii) q=-p-1 のとき。これを f(p)=0 に代入すると，
(p+1)(2p^2-p-1)=(p+1)(p-1)(2p+1)=0.
これより p=±1, -1/2.
p=1 のとき，q=-2. p=-1 のとき，q=0 (これは (i) で求めた解と同じです). 
p=-1/2 のとき，q=-1/2 で，これは p=q となってしまい不適。

以上より，
(p,q)=(-1,0), (1,-2), (±1/√2,-1).