質問＜３３４９＞２００６／８／２８
from=沙羅
「判別式と解と係数の関係」

a,bは実数でf(x)=x^2+ax+bとする。
α、βを二次方程式f(x)=0の異なる２つの実数解とする。
α＾２、β＾２がまたf(X)=0の異なる2つの実数解であるとき、
a,bの値を求めよ。

★完全解答希望★

お返事２００６／８／２８
from=武田

ｘ^2＋ａｘ＋ｂ＝０が２つの異なる実数解をもつには、
判別式Ｄ＝ａ^2－４ｂ＞０より、
ｂ＜ａ^2／４　………＠


解と係数の関係より、
α＋β＝－ａ　　　………①
α・β＝ｂ　　　　………②
α^2＋β^2＝－ａ　………③
α^2・β^2＝ｂ　　………④

③＋②×２＝①^2　より、
－ａ＋２ｂ＝（－ａ）^2
ａ^2＋ａ－２ｂ＝０　………⑤

④＝②^2　より、
ｂ＝ｂ^2
ｂ^2－ｂ＝０
ｂ（ｂ－１）＝０
∴ｂ＝０，１　………⑥

⑥を⑤に代入して、
ｂ＝０のとき、ａ^2＋ａ＝０
　　　　　　　ａ（ａ＋１）＝０
　　　　　　　∴ａ＝０，－１

ｂ＝１のとき、ａ^2＋ａ－２＝０
　　　　　　　（ａ＋２）（ａ－１）＝０
　　　　　　　∴ａ＝－２，１

以上より、
（ａ，ｂ）＝（０，０），（－１，０），（－２，１），（１，１）

判別式の条件＠にあてはまるものが答えだから、

（ａ，ｂ）＝（－１，０）……（答）