質問＜３３４３＞２００６／８／２７
from=ren
「不等式」

0≦x＜1のとき

sinx-1(←アークサイン)-x+x^3(←xの3乗)≦0

を証明する問題がわかりません教えて下さい。

★完全解答希望★

お便り２００６／８／２９
from=KINO

不等号の向きは逆ではないでしょうか。つまり，正しい不等式は
sin-1 x -x+x3≧0
ではないですか？
ともかく，こちらの不等式を証明することにします。

f(x)=arcsin x -x+x^3 とおくと，
f'(x)=1/√(1-x^2) -1+3x^2.
0≦x＜1 より 0≦x^2＜1 ですから，0＜1-x^2≦1 です。
したがって，0＜√(1-x^2)≦1 となり，最終的に 1/√(1-x^2)≧1 を得ます。
よって 0≦x＜1 において f'(x)≧0 です。
つまり，f(x) は 0≦x＜1 において増加します。
f(0)=0 なので，0≦x＜1 で f(x)≧f(0)=0，つまり f(x)≧0 が成り立ちます。