質問＜３２６０＞2006/6/23
from=おうれんじ
「因数定理の問題」

解き方からイマイチわかりません。
答えもないので、プロセスから説明していただけるとうれしいです。
よろしくお願いします。

問題
整式Ｐ(x)を(x-1)^2で割ると余りがx+4でx+2で割ると余りが-7である。
Ｐ(x)を(x-1)^2(x+2)で割ったときの余りを求めよ。

★完全解答希望★

お便り２００６／７／２
from=wakky

P(x)を(x-1)^2(x+2)で割った商をQ(x)、余りをR(x)とすると
P(x)＝(x-1)^2(x+2)Q(x)＋R(x)
ここでR(x)は2次以下の整式である。
P(x)を(x-1)^2で割った余りは、
R(x)を(x-1)^2で割った余りに等しい。
よって
R(x)＝a(x-1)^2＋x＋4とおける
すなわち
P(x)＝(x-1)^2(x+2)Q(x)＋a(x-1)^2＋x＋4・・・①
条件より
P(-2)＝-7だから①より
9a－2＋4＝-7　∴a＝-1
∴R(x)＝－(x-1)^2＋x＋4
　　　＝－x^2＋3x＋3・・・（答）

（別解）
途中省略して書いてあります。
P(x)＝(x-1)^2(x+2)Q(x)＋ax^2＋bx＋c・・・①
P(1)＝5より　　a＋b＋c＝5・・・②
P(-2)＝-7より　4a－2b＋c＝-7・・・③
①の両辺をxで微分して
（計算省略）
P'(1)＝1より　2a＋b＝1・・・④
②③④を解いて
a＝－1，b＝c＝3
よって、余りは
－x^2＋3x＋3・・・（答）