質問＜３２４８＞2006/6/15
from=ri
「三角比の相互関係」

tanθ=4/3のとき、sinθ-cosθ+sinθcosθ=?の値は？
ただし0≦θ≦180とする。
どなたか教えてください！

★完全解答希望★

お便り２００６／６／１６
from=亀田馬志

＞tanθ=4/3のとき、sinθ-cosθ+sinθcosθ=?の値は？
＞ただし0≦θ≦180とする。
＞どなたか教えてください！

tanθ＝4/3⇔θ＝arctan(4/3)･･･①

と言うのが同値です。arctan(アークタンジェント)と言うのはタンジェントの逆関数です
ね。
いやいや、黒バラの軍手キャラは関係ありません。
しかもアレは“クレッシェンド君”です(笑)。

とか言う｢ノリツッコミ｣はさておき、フリー数式処理ソフトMAXIMA(ウィンドウズ版)
を利用して解いてみましょう。まずはMAXIMAをダウンロードして下さい。

簡単な英語の指示に従ってインストールすると、デスクトップ上にMAXIMAの
アイコンが作成されている筈です。このアイコンをダブルクリックしてMAXIMAを
起動しましょう。

Maxima 5.9.3 http://maxima.sourceforge.net
Using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.7 (aka GCL)
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
This is a development version of Maxima. The function bug_report()
provides bug reporting information.
(%i1)

と言う画面が現れたら起動成功です。
MAXIMAでは(%i1)と言ったプロンプトの後に様々な数式(コマンド)を入力して
計算を実行します。
ではちょっと次のようにセミコロン(;)までコマンドを入力して下さい。

(%i1) t:atan(4/3);

このコマンドは①のアークタンジェントの式そのままです。
意味は次のようになっています。

t:⇒tと言う変数を定義。コロン(:)以下の数式がtとして定義される
atan()⇒アークタンジェントの事。

そしてリターンキーを押すと、

				 4
(%o1) 			    atan(-)
				 3

と表示されます。これで変数t＝arctan(4/3)として定義されました。
今度は新しい入力待ちプロンプト(%i2)が表示されていると思います。その後に問題の
数式を次のようにセミコロン(;)まで入力してみましょう。

(%i2) sin(t)-cos(t)+sin(t)*cos(t);

tは既に(%i1)で定義したので、それを利用して計算します。ではリターンキーを押して
みてください。答えが表示される筈です。

ちなみにまた新しい入力の為のプロンプト(%i3)が表示されている筈なんで、次のように
セミコロン(;)まで入力してみましょう。

(%i3) 4/5-3/5+4/5*3/5;

リターンキーを押せば････多分(%o2)と同じ数字が返されてくる筈だと思います。
何故でしょうね･･･?ちょっと考えてみて下さい。

ヒントは｢3平方の定理｣です。

お便り２００６／６／１７
from=wakky

tanθ=4/3から、sinθとcosθがわかればいいですね。
まず
tanθ=4/3　と　0°≦θ≦180°　から
0°＜θ＜90°（実際は45°＜θ＜90°）
よって、sinθ＞0，cosθ＞0
cos^2θ＝1/(1＋tan^2θ)＝9/25
cosθ＞0より　cosθ＝3/5
sinθ＝tanθ・cosθ＝4/5
あとは与式に代入するだけですが
ちょっと工夫して
　sinθ-cosθ+sinθcosθ
＝(sinθ－1)(cosθ+1)＋1
＝(-1/5)(8/5)＋1
＝17/25・・・（答）

お便り２００６／６／１７
from=ZELDA

tanθ=4/3 かつ　0°≦θ≦180°
であるから、cosθ=3/5,sinθ=4/5
これは、単位円上にθを tanθ=4/3　となるように図示すれば、明らかである。
これを、与えられた式に代入すれば

sinθ-cosθ+sinθcosθ=17/25